三、抽屜原理與整除問(wèn)題

    整除問(wèn)題：把所有整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示。每一個(gè)類含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，…。在研究與整除有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常用剩余類作為抽屜。根據(jù)抽屜原理，可以證明：任意n+1個(gè)自然數(shù)中，總有兩個(gè)自然數(shù)的差是n的倍數(shù)。（證明：n+1個(gè)自然數(shù)被n整除余數(shù)至少有兩個(gè)相等（抽屜原理），不妨記為m=a1*n+b n=a2*n+b，則m-n整除n）。

    例1 證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)。

    四、經(jīng)典練習(xí)：

    1. 木箱里裝有紅色球3個(gè)、黃色球5個(gè)、藍(lán)色球7個(gè)，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色不相同，則最少要取出多少個(gè)球？

    解析：把3種顏色看作3個(gè)抽屜，若要符合題意，則小球的數(shù)目必須大于7，故至少取出8個(gè)小球才能符合要求。

    2.一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？

    解析：點(diǎn)數(shù)為1（A）、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（J）、12（Q）、13（K）的牌各取1張，再取大王、小王各1張，一共15張，這15張牌中，沒(méi)有兩張的點(diǎn)數(shù)相同。這樣，如果任意再取1張的話，它的點(diǎn)數(shù)必為1～13中的一個(gè)，于是有2張點(diǎn)數(shù)相同。

    3.某校有55個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽男生的人生為_(kāi)_________人。

    解析：因?yàn)槿我夥殖伤慕M，必有一組的女生多于2人，所以女生至少有4×2+1=9（人）；因?yàn)槿我?0人中必有男生，所以女生人數(shù)至多有9人。所以女生有9人，男生有55-9=46（人）