數(shù)學(xué)運(yùn)算主要涉及到以下幾個問題：比例問題，不定方程，抽屜問題，倒推法問題，方陣問題，工程問題，和倍差問題，利潤問題，年齡問題，牛吃草問題，濃度問題，平均數(shù)，數(shù)的拆分，數(shù)的整除性，速算與巧算，提取公因式法，統(tǒng)籌問題，尾數(shù)計(jì)算法，行程問題，植樹問題，最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)問題等等。以上都是在不斷作題過程中總結(jié)出來的規(guī)律，在復(fù)習(xí)過程中，分點(diǎn)復(fù)習(xí)會有條理，不會遺漏，可以使自己的知識形成系統(tǒng)，在以后的作題中思路會更加清晰，下面是有關(guān)行程問題的一些總結(jié)。
方法：行程問題的主要思想就是數(shù)形結(jié)合的思想，在做題時畫個行程圖式，可以使思路比較直觀，容易抓住一些不變點(diǎn)，從而列出相應(yīng)的方程，求出一些重要的等量關(guān)系，而這些等量關(guān)系正是我們解題所需要的。
行程問題可以分為以下幾大類：
1.相遇問題：
知識要點(diǎn)提示：甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后甲，乙在A，B途中相遇。
A、 B兩地的路程=甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間
=（甲的速度+乙的速度）×相遇時間
=速度和×相遇時間
出發(fā)時間相同
例題：
兩列對開的列車相遇，第一列車的車速為10米/秒，第二列車的車速為12.5米/秒，第二列車的旅客發(fā)現(xiàn)第一列車在旁邊開過時用了6秒，則第一列車的長度為多少米？
A.60米
B.75米
C.80米
D.135米
「答案」D.解析：這里A，B兩地的距離就為第一列車的長度，那么第一列車的長度為（10+12.5）×6=135米。
甲、乙二人同時從相距60千米的兩地同時相向而行，6小時相遇。如果二人每小時各多行1千米，那么他們相遇的地點(diǎn)距前次相遇點(diǎn)1千米。又知甲的速度比乙的速度快，乙原來的速度為（ ）
A.3千米/時
B.4千米/時
C.5千米/時
D.6千米/時
「答案」B.解析：原來兩人速度和為60÷6=10千米/時，現(xiàn)在兩人相遇時間為60÷（10+2）=5小時，設(shè)原來乙的速度為X千米/時且乙的速度較慢，則5（X+1）=6X+1，解得X=4.注意：在解決這種問題的時候一定要先判斷誰的速度快。
「答案」D.解析：兩人相遇時間要超過2小時，出發(fā)130分鐘后，甲、乙都休息完2次，甲已經(jīng)行了4×2=8千米，乙已經(jīng)行了6×（130－20）÷60=11千米，相關(guān)因素去掉后，變成一個簡單的相遇問題，相遇還需要（20－8－11）÷（4+6）=0.1小時=6分鐘，故兩人從出發(fā)到第一次相遇用了130+6=136分鐘。先大體判斷兩人的相遇時間，可知道在相遇前兩人要休息幾次。以所用時間段長的人為基數(shù)。
我們上面講的都是同時出發(fā)的情況。
出發(fā)時間不同
每天早上李剛定時離家上班，張大爺定時出家門散步，他們每天都相向而行且準(zhǔn)時在途中相遇。有一天李剛因有事提早離家出門，所以他比平時早7分鐘與張大爺相遇。已知李剛每分鐘行70米，張大爺每分鐘行40米，那么這一天李剛比平時早出門（ ）分鐘
A.7
B.9
C.10
D.11
「答案」D.解析：設(shè)每天李剛走X分鐘，張大爺走Y分鐘相遇，李剛今天提前Z分鐘離家出門，可列方程為70X+40Y=70×（X+Z－7）+40×（Y－7），解得Z=11，故應(yīng)選擇D.抓住了，兩地距離不變，列方程。
2、二次相遇問題：
知識要點(diǎn)提示：甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)相向而行，兩人在C地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到B地后返回，乙繼續(xù)走到A地后返回，第二次在D地相遇。一般知道AC和AD的距離，主要抓住第二次相遇時走的路程是第一次相遇時走的路程的兩倍。
例題：
甲乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇，它們各自到達(dá)對方車站后立即返回，在距A地42千米處相遇。請問A、B兩地相距多少千米？
A.120
B.100
C.90
D.80
「答案」A.解析：設(shè)兩地相距x千米，由題可知，第一次相遇兩車共走了x，第二次相遇兩車共走了2x，由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120.
兩汽車同時從A、B兩地相向而行，在離A城52千米處相遇，到達(dá)對方城市后立即以原速沿原路返回，在離A城44千米處相遇。兩城市相距（ ）千米
A.200
B.150
C.120
D.100
「答案」D.解析：第一次相遇時兩車共走一個全程，第二次相遇時兩車共走了兩個全程，從A城出發(fā)的汽車在第二次相遇時走了52×2=104千米，從B城出發(fā)的汽車走了52+44=94千米，故兩城間距離為（104+96）÷2=100千米。
繞圈問題：
在一個圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過6分鐘甲到B點(diǎn)，又過10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（ ）？
A.24分鐘
B.26分鐘
C.28分鐘
D.30分鐘
「答案」C.解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分鐘。也就是說，兩人16分鐘走一圈。從出發(fā)到兩人第一次相遇用了8分鐘，所以兩人共走半圈，即從A到B是半圈，甲從A到B用了8+6=14分鐘，故甲環(huán)行一周需要14×2=28分鐘。也是一個倍數(shù)關(guān)系。
3.追及問題
知識要點(diǎn)提示：有甲，乙同時行走，一個走得快，一個走得慢，當(dāng)走的慢的走在前，走得快的過一段時間就能追上。這就產(chǎn)生了“追及問題”。實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人都的速度差。如果假設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時間（追及時間）內(nèi)：
追及路程=甲走的路程-乙走的路程
=甲的速度×追及時間-乙的速度×追及時間
=速度差×追及時間
核心就是“速度差”的問題。
一列快車長170米，每秒行23米，一列慢車長130米，每秒行18米�？燔噺暮竺孀飞下嚨匠^慢車，共需（ ）秒鐘
A.60
B.75
C.50
D.55
「答案」A.解析：設(shè)需要x秒快車超過慢車，則（23-18）x=170+130，得出x=60秒。這里速度差比較明顯。
當(dāng)然很多問題的都不可能有這么簡單，“速度差”隱藏起來了
甲、乙兩地相距100千米，一輛汽車和一臺拖拉機(jī)都從甲開往乙地，汽車出發(fā)時，拖拉機(jī)已開出15千米；當(dāng)汽車到達(dá)乙地時，拖拉機(jī)距乙地還有10千米。那么汽車是在距乙地多少千米處追上拖拉機(jī)的？
A.60千米
B.50千米
C.40千米
D.30千米
「答案」C.解析：汽車和拖拉機(jī)的速度比為100：（100－15－10）=4：3，設(shè)追上時經(jīng)過了t小時，那么汽車速度為4x，拖拉機(jī)速度則為3x，則3xt+15=4xt，即（4x-3x）t=15得出xt=15，既汽車是經(jīng)過4xt=60千米追上拖拉機(jī)，這時汽車距乙地100-60=40千米。這里速度差就被隱藏了。
環(huán)形跑道周長是500米，甲、乙兩人按順時針沿環(huán)形跑道同時、同地起跑，甲每分鐘跑50米，乙每分鐘跑40米，甲、乙兩人每跑200米均要停下來休息1分鐘，那么甲首次追上乙需要多少分鐘？
A.60
B.36
C.72
D.103
「答案」C.解析：追上的時間肯定超過50分鐘，在經(jīng)過72分鐘后，甲休息了14次并又跑了2分鐘，那么甲跑了2900米，乙正好休息了12次 ，知道乙跑了2400米，所以在經(jīng)過72分鐘后甲首次追上乙。
4.流水問題
知識要點(diǎn)提示：我們知道，船順?biāo)叫袝r，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進(jìn)，同時整個水面又按水流動的速度在前進(jìn)，因此船順?biāo)叫械膶?shí)際速度（簡稱順?biāo)俣龋┚偷扔诖俸退俚暮�，即�?/p>
順?biāo)俣?船速+水速
同理：逆水速度=船速-水速
可推知：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2；水速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2
一艘輪船從河的上游甲港順流到達(dá)下游的丙港，然后調(diào)頭逆流向上到達(dá)中游的乙港，共用了12小時。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小時2千米，從甲港到乙港相距18千米。則甲、丙兩港間的距離為（ ）
A.44千米
B.48千米
C.30千米
D.36千米
「答案」A.解析：順流速度－逆流速度=2×水流速度，又順流速度=2×逆流速度，可知順流速度=4×水流速度=8千米/時，逆流速度=2×水流速度=4千米/時。設(shè)甲、丙兩港間距離為X千米，可列方程X÷8+（X－18）÷4=12 解得X=44.
一艘輪船在兩碼頭之間航行。如果順?biāo)叫行?小時，如果逆水航行需11小時。已知水速為每小時3千米，那么兩碼頭之間的距離是多少千米？
A.180
B.185
C.190
D.176
「答案」D.解析：設(shè)全程為s，那么順?biāo)俣葹?，逆水速度為 ，由（順?biāo)俣?逆水速度）/2=水速，知道 － =6，得出s=176.
