一、填空題1.某年的二月份有五個(gè)星期日，這年六月一日是星期_____. 2.
1989年12月5 日是星期二，那么再過(guò)十年的12月5 日是星期_____. 3. 按下面擺
法擺80個(gè)三角形，有_____ 個(gè)白色的。

    ……

    4.節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每?jī)蓚�(gè)白燈之間有紅、黃、
綠各一盞彩燈。也就是說(shuō)，從第一盞白燈起，每一盞白燈后面都緊接著有3 盞彩
燈，小明想第73盞燈是_____ 燈。

    5.時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是14時(shí)正，那么分針旋轉(zhuǎn)1991周后，時(shí)針表示的時(shí)間
是_____. 6. 把自然數(shù)1 ，2 ，3 ，4 ，5 ……如表依次排列成5 列，那么數(shù)"1992"
在_____ 列。

    第一列  第二列  第三列  第四列  第五列1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14
18 17 16 15 …  …  …  …  …

    …  …  …  …

    7.把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)第110 位上的數(shù)字是_____. 8. 循環(huán)小數(shù)與 .
這兩個(gè)循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后第_____ 位，首次同時(shí)出現(xiàn)在該位中的數(shù)字都是7. 9.
一串?dāng)?shù)： 1，9 ，9 ，1 ，4 ，1 ， 4，1 ，9 ，9 ，1 ，4 ，1 ，4 ，1 ，9 ，
9 ，1 ，4 ，……共有1991個(gè)數(shù)。

    （1 ）其中共有_____ 個(gè)1 ，_____ 個(gè)9_____個(gè)4 ；（2 ）這些數(shù)字的總和
是_____. 10. 7 7 7…… 7所得積末位數(shù)是_____.

    50個(gè)

    二、解答題11. 緊接著1989后面一串?dāng)?shù)字，寫(xiě)下的每個(gè)數(shù)字都是它前面兩個(gè)
數(shù)字的乘積的個(gè)位數(shù)。例如8 9=72，在9 后面寫(xiě)2 ，9 2=18，在2 后面寫(xiě)8 ，…

    …得到一串?dāng)?shù)字：1 9 8 9 2 8 6 ……

    這串?dāng)?shù)字從1 開(kāi)始往右數(shù)，第1989個(gè)數(shù)字是什么？

    12. 1991個(gè)1990相乘所得的積與1990個(gè)1991相乘所得的積，再相加的和末兩
位數(shù)是多少？

    13. 設(shè)n=2 2 2 …… 2，那么n 的末兩位數(shù)字是多少？

    1991個(gè)14. 在一根長(zhǎng)100 厘米的木棍上，自左至右每隔6 厘米染一個(gè)紅點(diǎn)，
同時(shí)自右至左每隔5 厘米也染一個(gè)紅點(diǎn)，然后沿紅點(diǎn)處將木棍逐段鋸開(kāi)，那么長(zhǎng)
度是1 厘米的短木棍有多少根？

---------------答 案----------------------

    1.二因?yàn)? 4=28，由某年二月份有五個(gè)星期日，所以這年二月份應(yīng)是29天，
且2 月1 日與2 月29日均為星期日，3 月1 日是星期一，所以從這年3 月1 日起
到這年6 月1 日共經(jīng)過(guò)了31+30+31+1=93 （天）。

    因?yàn)?3 7=13 …2 ，所以這年6 月1 日是星期二。

    2.日依題意知，這十年中1992年、1996年都是閏年，因此，這十年之中共有
365 10+2=3652 （天）

    因?yàn)椋?652+1） 7=521…6 ，所以再過(guò)十年的12月5 日是星期日。

    [ 注] 上述兩題（題1-題2 ）都是推斷若干天、若干月或若干年后某一天為
星期幾，解答這類(lèi)問(wèn)題主要依據(jù)每周為七天循環(huán)的規(guī)律，運(yùn)用周期性解答。在計(jì)
算天數(shù)時(shí)，要根據(jù)" 四年一閏，整百不閏，四百年才又一閏" 的規(guī)定，即公歷年
份不是整百數(shù)時(shí)，只要是4 的倍數(shù)就是閏年，公歷年數(shù)為整百數(shù)時(shí)，必須是400
的倍數(shù)才是閏年。

    3. 39 從圖中可以看出，三角形按" 二黑二白一黑一白" 的規(guī)律重復(fù)排列，
也就是這一排列的周期為6 ，并且每一周期有3 個(gè)白色三角形。

    因?yàn)?0 6=13 …2 ，而第十四期中前兩個(gè)三角形都是黑色的，所以共有白色
三角形13 3=39 （個(gè)）。

    4.白依題意知，電燈的安裝排列如下：白，紅，黃，綠，白，紅，黃，綠，
白，……這一排列是按" 白，紅，黃，綠" 交替循環(huán)出現(xiàn)的，也就是這一排列的
周期為4.由73 4=18 …1 ，可知第73盞燈是白燈。

    5. 13 時(shí)。

    分針旋轉(zhuǎn)一周為1 小時(shí)，旋轉(zhuǎn)1991周為1991小時(shí)。一天24小時(shí)，1991 24=82
…23，1991小時(shí)共82天又23小時(shí)�，F(xiàn)在是14時(shí)正，經(jīng)過(guò)82天仍然是14時(shí)正，再過(guò)
23小時(shí)，正好是13時(shí)。

    [ 注] 在圓面上，沿著圓周把1 到12的整數(shù)等距排成一個(gè)圈，再加上一根長(zhǎng)
針和一根短針，就組成了我們天天見(jiàn)到的鐘面。鐘面雖然是那么的簡(jiǎn)單平常，但
在鐘面上卻包含著十分有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，周期現(xiàn)象就是其中的一個(gè)重要方面。

    6. 3仔細(xì)觀察題中數(shù)表。

    1 2 3 4 5 （奇數(shù)排）

    第一組9 8 7 6 （偶數(shù)排）

    10 11 12 13 14（奇數(shù)排）

    第二組18 17 16 15 （偶數(shù)排）

    19 20 21 22 23（奇數(shù)排）

    第三組27 26 25 24 （偶數(shù)排）

    可發(fā)現(xiàn)規(guī)律如下：（1 ）連續(xù)自然數(shù)按每組9 個(gè)數(shù)，且奇數(shù)排自左往右五個(gè)
數(shù)，偶數(shù)排自右往左四個(gè)數(shù)的規(guī)律循環(huán)排列；（2 ）觀察第二組，第三組，發(fā)現(xiàn)
奇數(shù)排的數(shù)如果用9 除有如下規(guī)律：第1 列用9 除余數(shù)為1 ，第2 列用9 除余數(shù)
為2 ，…，第5 列用9 除余數(shù)為5.（3 ）10 9=1…1 ，10在1+1 組，第1 列19 9=2
…1 ，19在2+1 組，第1 列因?yàn)?992 9=221…3 ，所以1992應(yīng)排列在（221+1 ）

    =222組中奇數(shù)排第3 列數(shù)的位置上。

    7. 7 =0.57142857……

    它的循環(huán)周期是6 ，具體地六個(gè)數(shù)依次是5 ，7 ，1 ，4 ，2 ，8 110 6=18
…2 因?yàn)橛? ，第110 個(gè)數(shù)字是上面列出的六個(gè)數(shù)中的第2 個(gè)，就是7. 8. 35因
為0.1992517 的循環(huán)周期是7 ，0.34567 的循環(huán)周期為5 ，又5 和7 的最小公倍
數(shù)是35，所以兩個(gè)循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后第35位，首次同時(shí)出現(xiàn)在該位上的數(shù)字都
是7. 9. 853 ，570 ，568 ，8255. 不難看出，這串?dāng)?shù)每7 個(gè)數(shù)即1 ，9 ，9 ，
1 ，4 ，1 ，4 為一個(gè)循環(huán)，即周期為7 ，且每個(gè)周期中有3 個(gè)1 ，2 個(gè)9 ，2
個(gè)4.因?yàn)?991 7=284…3 ，所以這串?dāng)?shù)中有284 個(gè)周期，加上第285 個(gè)周期中的
前三個(gè)數(shù)1 ，9 ，9.其中1 的個(gè)數(shù)是：3 284+1=853 （個(gè)），9 的個(gè)數(shù)是2 284+2=570
（個(gè)），4 的個(gè)數(shù)是2 284=568 （個(gè)）。這些數(shù)字的總和為1 853+9 570+4 568=8255.
10. 9 先找出積的末位數(shù)的變化規(guī)律：71末位數(shù)為7 ，72末位數(shù)為9 ，73末位數(shù)
為3 ， 74 末位數(shù)1 ；75=74+1 末位數(shù)為7 ，76=74+2 末位數(shù)為9 ，77=74+3 末
位數(shù)為3 ，78= 末位數(shù)為1 ……

    由此可見(jiàn)，積的末位依次為7 ，9 ，3 ，1 ，7 ，9 ，3 ，1 ……，以4 為
周期循環(huán)出現(xiàn)。

    因?yàn)?0 4=12 …2 ，即750=，所以750 與72末位數(shù)相同，也就是積的末位數(shù)
是9. 11.依照題述規(guī)則多寫(xiě)幾個(gè)數(shù)字：1989286884286884……

    可見(jiàn)1989后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復(fù)出現(xiàn)286884，每6 個(gè)一組，即循環(huán)周期
為6.因?yàn)椋?989-4） 6=330…5 ，所以所求數(shù)字是8. 12. 1991 個(gè)1990相乘所得
的積末兩位是0 ，我們只需考察1990個(gè)1991相乘的積末兩位數(shù)即可。1 個(gè)1991末
兩位數(shù)是91，2 個(gè)1991相乘的積末兩位數(shù)是81，3 個(gè)1991相乘的積末兩位數(shù)是71，
4 個(gè)至10個(gè)1991相乘的積的末兩位數(shù)分別是61，51，41，31，21，11，01，11個(gè)
1991相乘積的末兩位數(shù)字是91，……，由此可見(jiàn)，每10個(gè)1991相乘的末兩位數(shù)字
重復(fù)出現(xiàn)，即周期為10. 因?yàn)?990 10=199 ，所以1990個(gè)1991相乘積的末兩位數(shù)
是01，即所求結(jié)果是01. 13. n 是1991個(gè)2 的連乘積，可記為n=21991 ，首先從
2 的較低次冪入手尋找規(guī)律，列表如下：

    n n 的十位數(shù)字 n的個(gè)位數(shù)字 n n的十位數(shù)字 n的個(gè)位數(shù)字21 0 2 212 9 6
22 0 4 213 9 2 23 0 8 214 8 4 24 1 6 215 6 8 25 3 2 216 3 6 26 6 4 217 7 2
27 2 8 218 4 4 28 5 6 219 8 8 29 1 2 220 7 6 210 2 4 221 5 2 211 4 8 222 0 4

    觀察上表，容易發(fā)現(xiàn)自22開(kāi)始每隔20個(gè)2 的連乘積，末兩位數(shù)字就重復(fù)出現(xiàn)，
周期為20. 因?yàn)?990 20=99…10，所以21991 與211 的末兩位數(shù)字相同，由上表
知211 的十位數(shù)字是4 ，個(gè)位數(shù)字是8.所以，n 的末兩位數(shù)字是48. 14. 因?yàn)?00
能被5 整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色。于是我們可以看作是從同
一端點(diǎn)染色。

    6 與5 的最小公倍數(shù)是30，即在30厘米的地方，同時(shí)染上紅色，這樣染色就
會(huì)出現(xiàn)循環(huán)，每一周的長(zhǎng)度是30厘米，如下圖所示。

    由圖示可知長(zhǎng)1 厘米的短木棍，每一周期中有兩段，如第1 周期中，6-5=1 ，
5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段。所以鋸開(kāi)后長(zhǎng)1 厘米的短木棍共有7 段。綜合
算式為：2 [ （100-10） 30]+1 =2 3+1 =7（段）

    [ 注] 解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)整除性把自右向左每隔5 厘米的染色，轉(zhuǎn)
化為自左向右的染色，便于利用最小公倍數(shù)發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象，化難為易。