一、填空題1.五個連續(xù)奇數(shù)的和是85，其中最大的數(shù)是_____ ，最小的數(shù)是
_____. 2. 三個質(zhì)數(shù)、、，如果 > >1 ， + =，那么 =_____. 3. 已知a 、b 、
c 都是質(zhì)數(shù)，且a+b=c ，那么a b c 的最小值是_____. 4. 已知a 、b 、c 、d
都是不同的質(zhì)數(shù)，a+b+c=d ，那么a b c d 的最小值是_____. 5. a 、b 、c 都
是質(zhì)數(shù)，c 是一位數(shù)，且a b+c=1993，那么a+b+c=_____. 6. 三個質(zhì)數(shù)之積恰好
等于它們和的7 倍，則這三個質(zhì)數(shù)為_____. 7. 如果兩個兩位數(shù)的差是30，下面
第_____ 種說法有可能是對的。

    （1 ）這兩個數(shù)的和是57. （2 ）這兩個數(shù)的四個數(shù)字之和是19. （3 ）這
兩個數(shù)的四個數(shù)字之和是14. 8.一本書共186 頁，那么數(shù)字1 ，3 ，5 ，7 ，9
在頁碼中一共出現(xiàn)了_____ 次。

    9.筐中有60個蘋果，將它們?nèi)�部取出��，分成偶�?shù)堆，使得每堆的個數(shù)相同，
則有_____ 種分法。

    10. 從1 至9 這九個數(shù)字中挑出六個不同的數(shù)，填在下圖所示的六個圓圈內(nèi)，
使任意相鄰兩個圓圈內(nèi)數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)。那么最多能找出_____ 種不同的挑法
來。（六個數(shù)字相同，排列次序不同算同一種）

    二、解答題11. 在一張9 行9 列的方格紙上，把每個方格所在的行數(shù)和列數(shù)
加起來，填在這個方格中，例如a=5+3=8.問：填入的81個數(shù)字中，奇數(shù)多還是偶
數(shù)多？

    1 2 3 4 5 6 7 8 9

    12. 能不能在下式：1 2 3 4 5 6 7 8 9=10的每個方框中，分別填入加號或
減號，使等式成立？

    13. 在八個房間中，有七個房間開著燈，一個房間關(guān)著燈。如果每次同時撥
動四個房間的開關(guān)，能不能把全部房間的燈關(guān)上？為什么？

    14. 一個工人將零件裝進(jìn)兩種盒子中，每個大盒子裝12只零件，每個小盒子
裝5 只零件，恰好裝完。如果零件一共是99只，盒子個數(shù)大于10，這兩種盒子各
有多少個？

---------------答 案----------------------

    1. 21 ，13這五個數(shù)的中間數(shù)85 5=17 ，可知最大數(shù)是21，最小數(shù)是13. 2.
2 因為 > >1 ， + =，所以 > > .這里的關(guān)鍵是明確質(zhì)數(shù)除2 以外都是奇數(shù)，假
如不等于2 ，則它一定是奇數(shù)，那么 + =偶數(shù)，顯然這個偶數(shù)不會是質(zhì)數(shù)。所以，
一定等于2. 3. 30因為所有的質(zhì)數(shù)除2 以外都是奇數(shù)，題中a+b=c ，仿上題，由
數(shù)的奇偶性可以推知a=2 ，b ，c 都是質(zhì)數(shù)，根據(jù)a b c 的值最小的條件，可推
知b=3 ，c=5 ，所以a b c 的最小值是2 3 5=30. 4. 3135 在所有質(zhì)數(shù)中除2 是
偶數(shù)以外，其余的都是奇數(shù)，如果a ，b ，c ，d 中有一個為2 ，不妨設(shè)a=2 ，
則b ，c ，d 均為奇數(shù)，從而a+b+c 為偶數(shù)，不符合條件a+b+c=d ，所以a ，b ，
c ，d 都是奇數(shù)。再根據(jù)a b c d 的值最小的條件，可推知a=3 ，b=5 ，c=11，
d=19. 因此a b c d 的最小值為3 5 11 19=3135. 5. 194由a b+c=1993知，a b
與c 奇偶性不同。當(dāng)a b 為偶數(shù)，c 為奇數(shù)時，c 的值為3 、5 或7 ，不妨設(shè)b
為2 ，則a 的值為995 ，994 或993.因為995 、994 、993 都不是質(zhì)數(shù)，所以不
合題意舍去。當(dāng)a b 為奇數(shù)，c 為偶數(shù)時，c=2 ，a b=1991，1991=11 181 ，從
而a 的值是11（或181 ），b 的值是181 （或11）。2 、11、181 均為質(zhì)數(shù)符合
題意。所以a+b+c=2+11+181=194. 6. 3，5 ，7 依題意，設(shè)三個質(zhì)數(shù)為X ，Y ，
Z ，則X+Y+Z=，這樣三個質(zhì)數(shù)必定有一個質(zhì)數(shù)是7.如果X=7 ，則Y Z=Y+Z+7 ，即
Y Z-（Y+Z ）=7. 根據(jù)數(shù)的奇偶性：偶- 奇= 奇；奇- 偶= 奇，進(jìn)行討論。

    當(dāng)Y Z 為偶數(shù)， Y+Z為奇數(shù)時，則Y （或Z ）必定是2 ，從而有2 3-（2+3 ）

    =1，2 5-（2+5 ）=3，2 11- （2+11）=9，……均不符合條件。

    當(dāng)Y Z 為奇數(shù)， Y+Z為偶數(shù)時，則Y 、Z 均為奇數(shù)。若Y=3 ，Z=5 ，則3 5-
（3+5 ）=7，符合條件。

    所以，這三個質(zhì)數(shù)分別是3 ，5 和7. [注] 以上五題（題2-題6 ）都是質(zhì)數(shù)
與奇偶數(shù)的性質(zhì)求解" 小、巧、活" 的例子。尤其要注意2 是所有質(zhì)數(shù)中唯一的
偶數(shù)這一特征。命題者常在此涉足。

    7.（2 ）

    因為兩個兩位數(shù)的差是30，所以這兩個兩位數(shù)一定都是奇數(shù)，或都是偶數(shù)
（因為只有偶數(shù)- 偶數(shù)= 偶數(shù)、奇數(shù)- 奇數(shù)= 偶數(shù)），且偶數(shù)+ 偶數(shù)= 偶數(shù)，奇
數(shù)+ 奇數(shù)= 偶數(shù)，所以第（1 ）種說法顯然不對。因為差是30，所以它們的個位
數(shù)字相同，那么相加一定是偶數(shù)；又差的十位數(shù)字是奇數(shù)，故兩個兩位數(shù)的十位
數(shù)字一定是一奇一偶。通過以個分析，可得出：兩個兩位數(shù)的四個數(shù)字相加之和
肯定是奇數(shù)，而不是偶數(shù)，所以第（3 ）種說法也是錯的。第（2 ）種說法有可
能對。

    [ 注] 在排除第一種說法不對時，也可直接運用整數(shù)的奇偶性質(zhì)：兩個整數(shù)
的和與差有相同的奇偶性，即設(shè)a ，b 為整數(shù)，那么a+b 與a-b 有相同的奇偶性。

    證明（a+b ）+ （a-b ）=2a 為一偶數(shù)，所以a+b 與a-b 的奇偶性相同。

    這條性質(zhì)在處理奇偶性問題中用途很廣。

    8. 270因為1 ，3 ，5 ，7 ，9 為連續(xù)奇數(shù)，分別算出186 頁總頁碼中個位、
十位、百位上出現(xiàn)的奇數(shù)次數(shù)，再相加后所得的奇數(shù)總和即為數(shù)字1 ，3 ，5 ，
7 ，9 在頁碼中一共出現(xiàn)的總次數(shù)。

    從1-186 ，個位上出現(xiàn)的奇數(shù)為186 2=93（次）；從10-186，十位上出現(xiàn)的
奇數(shù)為10 9=90 （次）；從100-186 ，百位上出現(xiàn)的奇數(shù)為186-100+1=87（次）。

    所以，186 頁書中1 ，3 ，5 ，7 ，9 在頁碼中一共出現(xiàn)了93+90+87=270
（次）

    9. 8由于" 每堆個數(shù)相同" 且" 分成偶數(shù)堆" 知本題是要求60的偶因子的個
數(shù)，因為每個偶因子對應(yīng)于一種符合條件的分法，60的偶因子有：2 ，4 ，6 ，
10，12，20，30和60，所以有8 種分法。

    10. 17在所有質(zhì)數(shù)中，除2 是偶數(shù)外，其余是奇數(shù)。由所給出的數(shù)字，根據(jù)
數(shù)的奇偶性質(zhì)可知，六個數(shù)必定三偶三奇間隔排列。這樣，按三個偶數(shù)的4 種排
列列舉如下：

    2___4___6___： 2，1 ，4 ，7 ，6 ，5 ， 2，3 ，4 ，1 ，6 ，5 ， 2，
3 ，4 ，7 ，6 ，5 ， 2，3 ，4 ，7 ，6 ，1 ， 2，9 ，4 ，1 ，6 ，5 ， 2，
9 ，4 ，7 ，6 ，1 ， 2，9 ，4 ，7 ，6 ，5 ，共七種；2 4 8___： 2，1 ，
4 ，3 ，8 ，5 ， 2，1 ，4 ，3 ，8 ，9 ， 2，1 ，4 ，9 ，8 ，5 ， 2，3 ，
4 ，9 ，8 ，5 共四種；2___6___8___： 2，1 ，6 ，5 ，8 ，3 ， 2，1 ，6 ，
5 ，8 ，9 兩種；4___6___8___： 4，1 ，6 ，5 ，8 ，3 ， 4，1 ，6 ，5 ，
8 ，9 ，4 ，7 ，6 ，5 ，8 ，3 ， 4，7 ，6 ，5 ，8 ，9 共四種。

    所以，最多能找出17種不同的排列。

    [ 注] 也可以按照三個奇數(shù)的10種排列（例如：1___3___5___，1___3___7___，
1___3___9___，……）將偶數(shù)2 ，4 ，6 ，8 填入空位，同樣也有17種不同的排
列。實質(zhì)上，我們只要把上述的17種排列的每一種，按適當(dāng)?shù)妮啌Q方法即得。例
如，2 ，1 ，4 ，3 ，8 ，5 1 ，4 ，3 ，8 ，5 ，2. 11.根據(jù)自然數(shù)和的奇偶
性：奇數(shù)+ 奇數(shù)= 偶數(shù)，偶數(shù)+ 偶數(shù)= 偶數(shù)，奇數(shù)+ 偶數(shù)= 奇數(shù)，知，第一行填
的數(shù)中偶數(shù)比奇數(shù)多1 個，第二行填的數(shù)中偶數(shù)比奇數(shù)少1 個，第三得填的數(shù)中
偶數(shù)比奇數(shù)多1 個，第四行填的數(shù)中偶數(shù)比奇數(shù)少1 個，……

    可見，前8 行中奇數(shù)和偶數(shù)的個數(shù)一樣多，而第九行中偶數(shù)多。所以，81個
數(shù)字中偶數(shù)多。

    12. 由題7 評注知，在一個只有加減法運算的自然數(shù)式子中，如果把式子中
減法運算改成加法運算，那么所得結(jié)果的奇偶性不變。因此無論在給出的式子每
個方框中怎樣填加減號，所得結(jié)果的奇偶性，與在每個方框中都填入加號所得結(jié)
果的奇偶性一樣。但是，每個方框中都填入加號所得結(jié)果是45，是個奇數(shù)。而式
子的右邊是10，是個偶數(shù)。也就是說從奇偶性上判斷，要使題中式子成立是不可
能的。

    13. 不能。

    先看亮著燈的房間，每個房間的開關(guān)撥奇數(shù)次為關(guān)燈，奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇
數(shù)，需撥奇數(shù)次。

    再看關(guān)著燈的那個房間，需撥偶數(shù)次為關(guān)燈。

    所以，為使全部房間關(guān)燈，撥動開關(guān)總次數(shù)為奇數(shù)。

    現(xiàn)在每次只能撥動四只開關(guān)（偶數(shù)次），所以，撥動的總次數(shù)只能為偶數(shù)。

    綜合以上兩方面知，不能把全部房間的燈關(guān)上。

    14. 根據(jù)每個大盒子裝12只零件，不管大盒子個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，由12偶
= 偶，12奇= 偶，可知大盒子所裝零件總只數(shù)是偶數(shù)，根據(jù)99- 大盒子所裝零件
總只數(shù)= 小盒子所裝零件總只數(shù)可知，小盒子所裝零件總只數(shù)是奇數(shù)，且能被5
整除。

    這樣，小盒子所裝零件總只數(shù)的個位數(shù)必定是5 ，則大盒子所裝零件總只數(shù)
的個位數(shù)必定是4 ，由2 2=4 ，2 7=14，那么大盒子個數(shù)是2 個或7 個兩種可能，
相應(yīng)小盒子個數(shù)是15或3 個。

    因為7+3=10（不合題意舍去），所以這個工人用了2 個大盒子，15個小盒子。