一、填空題1.除107 后，余數(shù)為2 的兩位數(shù)有_____. 2. 27（）= （）……
3.上式（）里填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立，共有_____ 種不同的填法。

    3.四位數(shù)8 □98能同時被17和19整除，那么這個四位數(shù)所有質(zhì)因數(shù)的和是_____.
4.一串?dāng)?shù)1 、2 、4 、7 、11、16、22、29……這串?dāng)?shù)的組成規(guī)律，第2 個數(shù)比
第1 個數(shù)多1 ；第3 個數(shù)比第2 個數(shù)多2 ；第4 個數(shù)比第3 個數(shù)多3 ；依此類推
；那么這串?dāng)?shù)左起第1992個數(shù)除以5 的余數(shù)是_____. 5. 222 ……22除以13所得
的余數(shù)是_____. 2000 個6.小明往一個大池里扔石子，第一次扔1 個石子，第二
次扔2 個石子，第三次扔3 個石子，第四次扔4 個石子……，他準(zhǔn)備扔到大池的
石子總數(shù)被106 除，余數(shù)是0 止，那么小明應(yīng)扔_____ 次。

    7.七位數(shù)3 □□72□□的末兩位數(shù)字是_____ 時，不管十萬位上和萬位上的
數(shù)字是0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 中哪一個，這個七位數(shù)都不是
101 的倍數(shù)。

    8.有一個自然數(shù)，用它分別去除63，90，130 都有余數(shù)，三個余數(shù)的和是25.
這三個余數(shù)中最小的一個是_____. 9. 在1 ，2 ，3 ，……29，30這30個自然數(shù)
中，最多能取出_____ 個數(shù)，使取出的這些數(shù)中，任意兩個不同的數(shù)的和都不是
7 的倍數(shù)。

    10. 用1-9 九個數(shù)字組成三個三位數(shù)，使其中最大的三位數(shù)被3 除余2 ，并
且還盡可能地小；次大的三位數(shù)被3 除余1 ；最小的三位數(shù)能被3 整除。那么，
最大的三位數(shù)是_____.

    二、解答題11. 桌面上原有硬紙片5 張。從中取出若干張來，并將每張都任
意剪成7 張較小的紙片，然后放回桌面，像這樣，取出，剪小，放回；再取出，
剪小，放回；……是否可能在某次放回后，桌上的紙片數(shù)剛好是1991？

    12. 一個自然數(shù)被8 除余1 ，所得的商被8 除也余1 ，再把第二次所得的商
被8 除后余7 ，最后得到一個商是a （見短除式<1> ）；又知這個自然數(shù)被17除
余4 ，所得的商被17除余15，最后得到一個商是a 的2 倍（見短除式<2> ）。求
這個自然數(shù)。

    8 所求自然數(shù)……余1 8 第一次商……余1 8 第二次商……余7 a 短除式<1>
17所求自然數(shù)……余4 17第一次商……余15 2 a短除式<2> 13. 某班有41名同學(xué)，
每人手中有10元到50元錢各不相同。他們到書店買書，已知簡裝書3 元一本，精
裝書4 元一本，要求每人都要把自己手中的錢全部用完，并且盡可能多買幾本書，
那么最后全班一共買了多少本精裝書？

    14. 某校開運動會，打算發(fā)給1991位學(xué)生每人一瓶汽水，由于商店規(guī)定每7
個空瓶可換一瓶汽水，所以不必買1991瓶汽水，但是最少要買多少瓶汽水？

---------------答 案----------------------

    答案：1. 15 ，21，35從107 里減去余數(shù)2 ，得107-2=105 ，所以105 是除
數(shù)與商數(shù)相乘之積，將105 分解質(zhì)因數(shù)得105=3 5 7 ，可知這樣的兩位數(shù)有15，
21，35. 2. 5根據(jù)帶余數(shù)除法中各部分之間的關(guān)系可知，商除數(shù)=27-3=24. 這樣
可通過分解質(zhì)因數(shù)解答。

    因為24=2 2 2 3=23 3 ，所以（商，除數(shù)）= （1 ，24），（2 ，12），
（3 ，8 ），（4 ，6 ），（6 ，4 ），（8 ，3 ），（12，2 ），（24，1 ）

    又由余數(shù)比除數(shù)小可知，除數(shù)有24，12，8 ，6 ，4 五種填法。所以原式中
括號內(nèi)的數(shù)共有5 種填法。

    3. 51 由17與19互質(zhì)可知，8 □98能被（17 19=）323 整除。因為8098 323=25
…23，根據(jù)商數(shù)與余數(shù)符合題意的四位數(shù)應(yīng)是323 的26倍，所以這個四位數(shù)是8398.
將8398分解質(zhì)因數(shù)。

    8398=323 26 =2 13 17 19 所以，這個四位數(shù)的所有質(zhì)因數(shù)之和是2+13+17+19=51.
4. 2設(shè)這串?dāng)?shù)為a1，a2，a3，…，a1992 ，…，依題意知a1=1 a2=1+1 a3=1+1+2
a4=1+1+2+3 a5=1+1+2+3+4 ……

    a1992=1+1+2+3+…+1991=1+996 1991因為996 5=199 …1 ，1991 5=398…1 ，
所以996 1991的積除以5 余數(shù)為1 ，1+996 1991除以5 的余數(shù)是2.因此，這串?dāng)?shù)
左起第1992個數(shù)除以5 的余數(shù)是2. 5. 9 因為222222=2 111111 =2 111 1001 =2
111 7 11 13 所以222222能被13整除。

    又因為2000=6 333+2 222…2=222 …200+22 2000 個 1998 22 13=1 …9 所
以要求的余數(shù)是9. 6. 52設(shè)小明應(yīng)扔n 次，根據(jù)高斯求和可求出所扔石子總數(shù)為
1+2+3+…+n= （n+1 ）

    依題意知，（n+1 ）能被106 整除，因此可設(shè)（n+1 ）=106a 即n （n+1 ）
=212a 又212a=2 2 53a，根據(jù)n 與n+1 為兩個相鄰的自然數(shù)，可知2 2 a=52（或
54）。

    當(dāng)2 2 a=52時，a=13. 當(dāng)2 2 a=54時，a=13，a 不是整數(shù)，不符合題意舍去。

    因此， n（n+1 ）=52 53=52 （52+1），n=52，所以小明扔52次。

    7. 76 假設(shè)十萬位和萬位上填入兩位數(shù)為，末兩位上填入的數(shù)為，（十位上
允許是0 ），那么這個七位數(shù)可以分成三個部分3007200+10000 + ，3007200 除
以101 的余數(shù)是26， 10000除以101 的余數(shù)為，那么當(dāng) + +26的和是101 的倍數(shù)
時，這個七位數(shù)也是101 的倍數(shù)。如：當(dāng) =1 時， =74；當(dāng) =2 時， =73，……，
而當(dāng) =76時， =100 ，而，不可能是100 ，所以也不可能是76. 由此可知末兩位
數(shù)字是76時，這個七位數(shù)不管十萬位上和萬位上的數(shù)字是幾，都不是101 的倍數(shù)。

    8. 1設(shè)這個自然數(shù)為，且去除63，90，130 所得的余數(shù)分別為a ，b ，c ，
則63-a，90-b，130-c 都是的倍數(shù)。于是（63-a）+ （90-b）+ （130-c ）=283-
（a+b+c ）=283-25=258 也是的倍數(shù)。又因為258=2 3 43. 則可能是2 或3 或6
或43（顯然，86，129 ，258 ），但是a+b+c=25，故a ，b ，c 中至少有一個要
大于8 （否則，a ，b ，c 都不大于8 ，就推出a+b+c 不大于24，這與a+b+c=25
矛盾）。根據(jù)除數(shù)必須大于余數(shù)，可以確定 =43. 從而a=20，b=4 ，c=1.顯然，
1 是三個余數(shù)中最小的。

    9. 15 我們把1 到30共30個自然數(shù)根據(jù)除以7 所得余數(shù)不同情況分為七組。
例如，除以7 余1 的有1 ，8 ，15，22，29這五個數(shù)，除以7 余2 的有2 ，9 ，
16，23，30五個數(shù)，除以7 余3 的有3 ，10，17，24四個數(shù)，…要使取出的數(shù)中
任意兩個不同的數(shù)的和都不是7 的倍數(shù)，那么能被7 整除的數(shù)只能取1 個，取了
除以7 余1 的數(shù)，就不能再取除以7 余6 的數(shù)；取了除以7 余2 的數(shù)，就不能再
取除以7 余5 的數(shù)；取了除以7 余3 的數(shù)，就不能再取除以7 余4 的數(shù)。為了使
取出的個數(shù)最多，我們把除以7 分別余1 、余2 、余3 的數(shù)全部取出來連同1 個
能被7 整除的數(shù)，共有5+5+4+1=15（個）

    所以，最多能取出15個數(shù)。

    10. 347 根據(jù)使組成的符合條件的三位數(shù)，其最大三位數(shù)盡可能小的條件，
可知它們百位上的數(shù)字應(yīng)分別選用3 ，2 ，1 ；個位上的數(shù)字應(yīng)分別選用7 ，8 ，
9.又根據(jù)最小的三位數(shù)是3 的倍數(shù)，考慮在1 ○9 中應(yīng)填5 ，得159.則在3 ○7 ，
2 ○8 中被3 除余2 ，余1 ，選用4 ，6 分別填入圓圈中得347 ，268 均符合條
件。

    這樣，最大三位數(shù)是347 ，次大三位數(shù)是268 ，最小三位數(shù)是159. 11.每次
放回后，桌面上的紙片數(shù)都增加6 的倍數(shù)，總數(shù)一定是6 的倍數(shù)加5.而1991=6 331+5，
所以是可能的。

    12. 解法一由（1 ）式得：8 與a 相乘的積加上余數(shù)7 ，為第二次商，即8a+7
為第二次商，同樣地，第二次商與8 相乘的積加上余數(shù)1 ，為第一次商，即8
（8a+7）+1為第一次商，第一次商與8 相乘的積加上余數(shù)1 ，為所求的自然數(shù)，
即8[8 （8a+7）+1]+1 為所求的自然數(shù)。

    同理，由（2 ）式得所求的自然數(shù)為17（2a 17+15）+4由此得方程8[8 （8a+7）
+1]+1=17（2a 17+15）+4 8（64a+57）+1=17 （34a+15）+4 512a+457=578a+259
66a=198 ∴a=3 因此，所求自然數(shù)為512a+457=512 3+457 =1993解法二依題意可
知所求的自然數(shù)有兩種表示方法：（1 ） @⑦①①（8 ） a<8（2 ）2a 15 ④
（17） 2a<17根據(jù)數(shù)的十進(jìn)制與其他數(shù)的進(jìn)制的互化關(guān)系，可知所求的自然數(shù)是
（1 ）a 83+7 82+1 81+1=512a+457 （2 ）2a 172+15 171+4=578a+259由此得 512a+457=578a+259
a=3 因此，所求的自然數(shù)為512a+457=512 3+457=1993 [ 注] 解法一根據(jù)" 被除
數(shù)= 除數(shù)商+ 余數(shù)" 的關(guān)系式，由最后的商逐步推回到原來的自然數(shù)，需要一定
的逆向思考能力，解法二要求小選手熟悉數(shù)的十進(jìn)制與其他數(shù)進(jìn)制之間的互化。

    13. 每人都要把手中的錢用完，而且盡可能多買幾本書，意即3 元一本的簡
裝書要盡量多買，4 元一本的精裝書要盡量少買甚至不買。

    我們分三種情況進(jìn)行討論：（1 ）當(dāng)錢數(shù)被3 整除時，精裝書就可以不買；
（2 ）當(dāng)錢數(shù)被3 除余1 時，3k+1=3（k-1 ）+4，精裝書只要買1 本，其中k 為
大于2 的自然數(shù)。

    （3 ）當(dāng)錢數(shù)被3 除余2 時，3k+1=3（k-2 ）+8，精裝書只要買2 本，其中
k 為大于2 的自然數(shù)。

    在10至50這41個自然數(shù)中，被3 除余1 和2 的數(shù)均各有14個。所以全班一共
買精裝書14+14 2=42（本）

    14. 因為73=343<1991<2401=74 ，不考慮余數(shù)，能用空瓶換三次汽水，由于
每7 個空瓶可換一瓶汽水，原有空瓶不一定能被7 整除，那么第二次以后換時要
考慮上一次的余數(shù)，最多能用空瓶換四次汽水。

    1991（1+）=1707.2825如果買1707瓶汽水，1707 7=243…6 可換243 瓶汽水，
（243+6 ） 7=35 …4 可換35瓶汽水，（35+4） 7=5…4 可換5 瓶汽水，（5+4 ）
7=1 …2 可換一瓶汽水，1+2<7 不能再換。1707+243+35+5+1=1991. 如果買1706
瓶，用空瓶換的數(shù)量不變，但1706+243+35+5+1=1990. 所以最少要買1707瓶汽水。