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五年級奧數(shù)題:帶余數(shù)除法(B)

來源:育路教育網(wǎng)發(fā)布時間:2011-07-26 08:57:56

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   一、填空題1.除107 后,余數(shù)為2 的兩位數(shù)有_____. 2. 27()= ()……
3.上式()里填入適當(dāng)?shù)臄?shù),使等式成立,共有_____ 種不同的填法。

    3.四位數(shù)8 □98能同時被17和19整除,那么這個四位數(shù)所有質(zhì)因數(shù)的和是_____.
4.一串?dāng)?shù)1 、2 、4 、7 、11、16、22、29……這串?dāng)?shù)的組成規(guī)律,第2 個數(shù)比
第1 個數(shù)多1 ;第3 個數(shù)比第2 個數(shù)多2 ;第4 個數(shù)比第3 個數(shù)多3 ;依此類推
;那么這串?dāng)?shù)左起第1992個數(shù)除以5 的余數(shù)是_____. 5. 222 ……22除以13所得
的余數(shù)是_____. 2000 個6.小明往一個大池里扔石子,第一次扔1 個石子,第二
次扔2 個石子,第三次扔3 個石子,第四次扔4 個石子……,他準(zhǔn)備扔到大池的
石子總數(shù)被106 除,余數(shù)是0 止,那么小明應(yīng)扔_____ 次。

    7.七位數(shù)3 □□72□□的末兩位數(shù)字是_____ 時,不管十萬位上和萬位上的
數(shù)字是0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 中哪一個,這個七位數(shù)都不是
101 的倍數(shù)。

    8.有一個自然數(shù),用它分別去除63,90,130 都有余數(shù),三個余數(shù)的和是25.
這三個余數(shù)中最小的一個是_____. 9. 在1 ,2 ,3 ,……29,30這30個自然數(shù)
中,最多能取出_____ 個數(shù),使取出的這些數(shù)中,任意兩個不同的數(shù)的和都不是
7 的倍數(shù)。

    10. 用1-9 九個數(shù)字組成三個三位數(shù),使其中最大的三位數(shù)被3 除余2 ,并
且還盡可能地小;次大的三位數(shù)被3 除余1 ;最小的三位數(shù)能被3 整除。那么,
最大的三位數(shù)是_____.

    二、解答題11. 桌面上原有硬紙片5 張。從中取出若干張來,并將每張都任
意剪成7 張較小的紙片,然后放回桌面,像這樣,取出,剪小,放回;再取出,
剪小,放回;……是否可能在某次放回后,桌上的紙片數(shù)剛好是1991?

    12. 一個自然數(shù)被8 除余1 ,所得的商被8 除也余1 ,再把第二次所得的商
被8 除后余7 ,最后得到一個商是a (見短除式<1> );又知這個自然數(shù)被17除
余4 ,所得的商被17除余15,最后得到一個商是a 的2 倍(見短除式<2> )。求
這個自然數(shù)。

    8 所求自然數(shù)……余1 8 第一次商……余1 8 第二次商……余7 a 短除式<1>
17所求自然數(shù)……余4 17第一次商……余15 2 a短除式<2> 13. 某班有41名同學(xué),
每人手中有10元到50元錢各不相同。他們到書店買書,已知簡裝書3 元一本,精
裝書4 元一本,要求每人都要把自己手中的錢全部用完,并且盡可能多買幾本書,
那么最后全班一共買了多少本精裝書?

    14. 某校開運動會,打算發(fā)給1991位學(xué)生每人一瓶汽水,由于商店規(guī)定每7
個空瓶可換一瓶汽水,所以不必買1991瓶汽水,但是最少要買多少瓶汽水?

---------------答 案----------------------

    答案:1. 15 ,21,35從107 里減去余數(shù)2 ,得107-2=105 ,所以105 是除
數(shù)與商數(shù)相乘之積,將105 分解質(zhì)因數(shù)得105=3 5 7 ,可知這樣的兩位數(shù)有15,
21,35. 2. 5根據(jù)帶余數(shù)除法中各部分之間的關(guān)系可知,商除數(shù)=27-3=24. 這樣
可通過分解質(zhì)因數(shù)解答。

    因為24=2 2 2 3=23 3 ,所以(商,除數(shù))= (1 ,24),(2 ,12),
(3 ,8 ),(4 ,6 ),(6 ,4 ),(8 ,3 ),(12,2 ),(24,1 )

    又由余數(shù)比除數(shù)小可知,除數(shù)有24,12,8 ,6 ,4 五種填法。所以原式中
括號內(nèi)的數(shù)共有5 種填法。

    3. 51 由17與19互質(zhì)可知,8 □98能被(17 19=)323 整除。因為8098 323=25
…23,根據(jù)商數(shù)與余數(shù)符合題意的四位數(shù)應(yīng)是323 的26倍,所以這個四位數(shù)是8398.
將8398分解質(zhì)因數(shù)。

    8398=323 26 =2 13 17 19 所以,這個四位數(shù)的所有質(zhì)因數(shù)之和是2+13+17+19=51.
4. 2設(shè)這串?dāng)?shù)為a1,a2,a3,…,a1992 ,…,依題意知a1=1 a2=1+1 a3=1+1+2
a4=1+1+2+3 a5=1+1+2+3+4 ……

    a1992=1+1+2+3+…+1991=1+996 1991因為996 5=199 …1 ,1991 5=398…1 ,
所以996 1991的積除以5 余數(shù)為1 ,1+996 1991除以5 的余數(shù)是2.因此,這串?dāng)?shù)
左起第1992個數(shù)除以5 的余數(shù)是2. 5. 9 因為222222=2 111111 =2 111 1001 =2
111 7 11 13 所以222222能被13整除。

    又因為2000=6 333+2 222…2=222 …200+22 2000 個 1998 22 13=1 …9 所
以要求的余數(shù)是9. 6. 52設(shè)小明應(yīng)扔n 次,根據(jù)高斯求和可求出所扔石子總數(shù)為
1+2+3+…+n= (n+1 )

    依題意知,(n+1 )能被106 整除,因此可設(shè)(n+1 )=106a 即n (n+1 )
=212a 又212a=2 2 53a,根據(jù)n 與n+1 為兩個相鄰的自然數(shù),可知2 2 a=52(或
54)。

    當(dāng)2 2 a=52時,a=13. 當(dāng)2 2 a=54時,a=13,a 不是整數(shù),不符合題意舍去。

    因此, n(n+1 )=52 53=52 (52+1),n=52,所以小明扔52次。

    7. 76 假設(shè)十萬位和萬位上填入兩位數(shù)為,末兩位上填入的數(shù)為,(十位上
允許是0 ),那么這個七位數(shù)可以分成三個部分3007200+10000 + ,3007200 除
以101 的余數(shù)是26, 10000除以101 的余數(shù)為,那么當(dāng) + +26的和是101 的倍數(shù)
時,這個七位數(shù)也是101 的倍數(shù)。如:當(dāng) =1 時, =74;當(dāng) =2 時, =73,……,
而當(dāng) =76時, =100 ,而,不可能是100 ,所以也不可能是76. 由此可知末兩位
數(shù)字是76時,這個七位數(shù)不管十萬位上和萬位上的數(shù)字是幾,都不是101 的倍數(shù)。

    8. 1設(shè)這個自然數(shù)為,且去除63,90,130 所得的余數(shù)分別為a ,b ,c ,
則63-a,90-b,130-c 都是的倍數(shù)。于是(63-a)+ (90-b)+ (130-c )=283-
(a+b+c )=283-25=258 也是的倍數(shù)。又因為258=2 3 43. 則可能是2 或3 或6
或43(顯然,86,129 ,258 ),但是a+b+c=25,故a ,b ,c 中至少有一個要
大于8 (否則,a ,b ,c 都不大于8 ,就推出a+b+c 不大于24,這與a+b+c=25
矛盾)。根據(jù)除數(shù)必須大于余數(shù),可以確定 =43. 從而a=20,b=4 ,c=1.顯然,
1 是三個余數(shù)中最小的。

    9. 15 我們把1 到30共30個自然數(shù)根據(jù)除以7 所得余數(shù)不同情況分為七組。
例如,除以7 余1 的有1 ,8 ,15,22,29這五個數(shù),除以7 余2 的有2 ,9 ,
16,23,30五個數(shù),除以7 余3 的有3 ,10,17,24四個數(shù),…要使取出的數(shù)中
任意兩個不同的數(shù)的和都不是7 的倍數(shù),那么能被7 整除的數(shù)只能取1 個,取了
除以7 余1 的數(shù),就不能再取除以7 余6 的數(shù);取了除以7 余2 的數(shù),就不能再
取除以7 余5 的數(shù);取了除以7 余3 的數(shù),就不能再取除以7 余4 的數(shù)。為了使
取出的個數(shù)最多,我們把除以7 分別余1 、余2 、余3 的數(shù)全部取出來連同1 個
能被7 整除的數(shù),共有5+5+4+1=15(個)

    所以,最多能取出15個數(shù)。

    10. 347 根據(jù)使組成的符合條件的三位數(shù),其最大三位數(shù)盡可能小的條件,
可知它們百位上的數(shù)字應(yīng)分別選用3 ,2 ,1 ;個位上的數(shù)字應(yīng)分別選用7 ,8 ,
9.又根據(jù)最小的三位數(shù)是3 的倍數(shù),考慮在1 ○9 中應(yīng)填5 ,得159.則在3 ○7 ,
2 ○8 中被3 除余2 ,余1 ,選用4 ,6 分別填入圓圈中得347 ,268 均符合條
件。

    這樣,最大三位數(shù)是347 ,次大三位數(shù)是268 ,最小三位數(shù)是159. 11.每次
放回后,桌面上的紙片數(shù)都增加6 的倍數(shù),總數(shù)一定是6 的倍數(shù)加5.而1991=6 331+5,
所以是可能的。

    12. 解法一由(1 )式得:8 與a 相乘的積加上余數(shù)7 ,為第二次商,即8a+7
為第二次商,同樣地,第二次商與8 相乘的積加上余數(shù)1 ,為第一次商,即8
(8a+7)+1為第一次商,第一次商與8 相乘的積加上余數(shù)1 ,為所求的自然數(shù),
即8[8 (8a+7)+1]+1 為所求的自然數(shù)。

    同理,由(2 )式得所求的自然數(shù)為17(2a 17+15)+4由此得方程8[8 (8a+7)
+1]+1=17(2a 17+15)+4 8(64a+57)+1=17 (34a+15)+4 512a+457=578a+259
66a=198 ∴a=3 因此,所求自然數(shù)為512a+457=512 3+457 =1993解法二依題意可
知所求的自然數(shù)有兩種表示方法:(1 ) @⑦①①(8 ) a<8(2 )2a 15 ④
(17) 2a<17根據(jù)數(shù)的十進(jìn)制與其他數(shù)的進(jìn)制的互化關(guān)系,可知所求的自然數(shù)是
(1 )a 83+7 82+1 81+1=512a+457 (2 )2a 172+15 171+4=578a+259由此得 512a+457=578a+259
a=3 因此,所求的自然數(shù)為512a+457=512 3+457=1993 [ 注] 解法一根據(jù)" 被除
數(shù)= 除數(shù)商+ 余數(shù)" 的關(guān)系式,由最后的商逐步推回到原來的自然數(shù),需要一定
的逆向思考能力,解法二要求小選手熟悉數(shù)的十進(jìn)制與其他數(shù)進(jìn)制之間的互化。

    13. 每人都要把手中的錢用完,而且盡可能多買幾本書,意即3 元一本的簡
裝書要盡量多買,4 元一本的精裝書要盡量少買甚至不買。

    我們分三種情況進(jìn)行討論:(1 )當(dāng)錢數(shù)被3 整除時,精裝書就可以不買;
(2 )當(dāng)錢數(shù)被3 除余1 時,3k+1=3(k-1 )+4,精裝書只要買1 本,其中k 為
大于2 的自然數(shù)。

    (3 )當(dāng)錢數(shù)被3 除余2 時,3k+1=3(k-2 )+8,精裝書只要買2 本,其中
k 為大于2 的自然數(shù)。

    在10至50這41個自然數(shù)中,被3 除余1 和2 的數(shù)均各有14個。所以全班一共
買精裝書14+14 2=42(本)

    14. 因為73=343<1991<2401=74 ,不考慮余數(shù),能用空瓶換三次汽水,由于
每7 個空瓶可換一瓶汽水,原有空瓶不一定能被7 整除,那么第二次以后換時要
考慮上一次的余數(shù),最多能用空瓶換四次汽水。

    1991(1+)=1707.2825如果買1707瓶汽水,1707 7=243…6 可換243 瓶汽水,
(243+6 ) 7=35 …4 可換35瓶汽水,(35+4) 7=5…4 可換5 瓶汽水,(5+4 )
7=1 …2 可換一瓶汽水,1+2<7 不能再換。1707+243+35+5+1=1991. 如果買1706
瓶,用空瓶換的數(shù)量不變,但1706+243+35+5+1=1990. 所以最少要買1707瓶汽水。

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