一、填空題1.把20個(gè)梨和25個(gè)蘋果平均分給小朋友，分完后梨剩下2 個(gè)，而
蘋果還缺2 個(gè)，一共有_____ 個(gè)小朋友。

    2.幼兒園有糖115 顆、餅干148 塊、桔子74個(gè)，平均分給大班小朋友；結(jié)果
糖多出7 顆，餅干多出4 塊，桔子多出2 個(gè)。這個(gè)大班的小朋友最多有_____ 人。

    3.用長16厘米、寬14厘米的長方形木板來拼成一個(gè)正方形，最少需要用這樣
的木板_____ 塊。

    4.用長是9 厘米、寬是6 厘米、高是7 厘米的長方體木塊疊成一個(gè)正方體，
至少需要這種長方體木塊_____ 塊。

    5.一個(gè)公共汽車站，發(fā)出五路車，這五路車分別為每隔3 、5 、9 、15、10
分鐘發(fā)一次，第一次同時(shí)發(fā)車以后，_____ 分鐘又同時(shí)發(fā)第二次車。

    6.動(dòng)物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12
粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得
20粒。那么平均給三群猴子，每只可得_____ 粒。

    7.這樣的自然數(shù)是有的：它加1 是2 的倍數(shù)，加2 是3 的倍數(shù)，加3 是4 的
倍數(shù)，加4 是5 的倍數(shù)，加5 是6 的倍數(shù)，加6 是7 的倍數(shù)，在這種自然數(shù)中除
了1 以外最小的是_____. 8. 能被3 、7 、8 、11四個(gè)數(shù)同時(shí)整除的最大六位數(shù)
是_____. 9. 把26，33，34，35，63，85，91，143 分成若干組，要求每一組中
任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1 ，那么至少要分成_____ 組。

    10. 210 與330 的最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的_____ 倍。

    二、解答題11. 公共汽車總站有三條線路，第一條每8 分鐘發(fā)一輛車，第二
條每10分鐘發(fā)一輛車，第三條每16分鐘發(fā)一輛車，早上6 ：00三條路線同時(shí)發(fā)出
第一輛車。該總站發(fā)出最后一輛車是20：00，求該總站最后一次三輛車同時(shí)發(fā)出
的時(shí)刻。

    12. 甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公約數(shù)，商是12. 如果甲乙兩數(shù)
的差是18，則甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？

    13. 用、、分別去除某一個(gè)分?jǐn)?shù)，所得的商都是整數(shù)。這個(gè)分?jǐn)?shù)最小是幾？

    14. 有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是1 號(hào)到15號(hào)，1 號(hào)同學(xué)寫了一
個(gè)自然數(shù)，2 號(hào)說：" 這個(gè)數(shù)能被2 整除" ，3 號(hào)說：" 這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)數(shù)
整除。1 號(hào)作了檢驗(yàn)：只有編號(hào)連續(xù)的二位同學(xué)說得不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問：
（1 ）說的不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？

    （2 ）如果告訴你，1 號(hào)寫的數(shù)是五位數(shù)，請(qǐng)找出這個(gè)數(shù)。

---------------答 案----------------------

    答案：1. 9若梨減少2 個(gè)，則有20-2=18 （個(gè)）；若將蘋果增加2 個(gè)，則有
25+2=27 （個(gè)），這樣都被小朋友剛巧分完。由此可知小朋友人數(shù)是18與27的最
大公約數(shù)。所以最多有9 個(gè)小朋友。

    2. 36 根據(jù)題意不難看出，這個(gè)大班小朋友的人數(shù)是115-7=108 ，148-4=144
，74-2=72的最大公約數(shù)。

    所以，這個(gè)大班的小朋友最多有36人。

    3. 56 所鋪成正方形的木板它的邊長必定是長方形木板長和寬的倍數(shù)，也就
是長方形木板的長和寬的公倍數(shù)，又要求最少需要多少塊，所以正方形木板的邊
長應(yīng)是14與16的最小公倍數(shù)。

    先求14與16的最小公倍數(shù)。

    2 16 14 8 7 故14與16的最小公倍數(shù)是2 8 7=112.因?yàn)檎�方形的邊長最小為
112 厘米，所以最少需要用這樣的木板=7 8=56 （塊）

    4. 5292 與上題類似，依題意，正方體的棱長應(yīng)是9 ，6 ，7 的最小公倍數(shù)，
9 ，6 ，7 的最小公倍數(shù)是126.所以，至少需要這種長方體木塊=14 21 18=5292
（塊）

    [ 注] 上述兩題都是利用最小公倍數(shù)的概念進(jìn)行" 拼圖" 的問題，前一題是
平面圖形，后一題是立體圖形，思考方式相同，后者可看作是前者的推廣。將平
面問題推廣為空間問題是數(shù)學(xué)家喜歡的研究問題的方式之一。希望引起小朋友們
注意。

    5. 90 依題意知，從第一次同時(shí)發(fā)車到第二次同時(shí)發(fā)車的時(shí)間是3 ，5 ，9 ，
15和10的最小公倍數(shù)。

    因?yàn)? ，5 ，9 ，15和10的最小公倍數(shù)是90，所以從第一次同時(shí)發(fā)車后90分
鐘又同時(shí)發(fā)第二次車。

    6. 5依題意得花生總粒數(shù)=12 第一群猴子只數(shù)=15 第二群猴子只數(shù)=20 第三
群猴子只數(shù)由此可知，花生總粒數(shù)是12，15，20的公倍數(shù)，其最小公倍數(shù)是60.
花生總粒數(shù)是60，120 ，180 ，……，那么第一群猴子只數(shù)是5 ，10，15，……

    第二群猴子只數(shù)是4 ，8 ，12，……

    第三群猴子只數(shù)是3 ，6 ，9 ，……

    所以，三群猴子的總只數(shù)是12，24，36，……。因此，平均分給三群猴子，
每只猴子所得花生粒數(shù)總是5 粒。

    7. 421依題意知，這個(gè)數(shù)比2 、3 、4 、5 、6 、7 的最小公倍數(shù)大1 ，2 、
3 、4 、5 、6 、7 的最小公倍數(shù)是420 ，所以這個(gè)數(shù)是421. 8. 999768由題意
知，最大的六位數(shù)是3 ，7 ，8 ，11的公倍數(shù)，而3 ，7 ，8 ，11的最小公倍數(shù)
是1848. 因?yàn)?99999 1848=541 ……231 ，由商數(shù)和余數(shù)可知符合條件的最大六
位數(shù)是1848的541 倍，或者是999999與231 的差。所以，符合條件的六位數(shù)是999999-231=999768.
9. 3根據(jù)題目要求，有相同質(zhì)因數(shù)的數(shù)不能分在一組，26=2 13 ，91=7 13 ，143=11
13，所以，所分組數(shù)不會(huì)小于3.下面給出一種分組方案：（1 ）26，33，35；
（2 ）34，91；（3 ）63，85，143.因此，至少要分成3 組。

    [ 注] 所求組數(shù)不一定等于出現(xiàn)次數(shù)最多的質(zhì)因數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)，如15=3 5，
21=3 7，35=5 7，3 ，5 ，7 各出現(xiàn)兩次，而這三個(gè)數(shù)必須分成三組，而不是兩
組。

    除了上述分法之外，還有多種分組法，下面再給出三種：（1 ）26，35；33，
85，91；34，63，143.（2 ）85，143 ，63；26，33，35；34，91. （3 ）26，
85，63；91，34，33；143 ，35. 10. 77根據(jù)" 甲乙的最小公倍數(shù)甲乙的最大公
約數(shù)= 甲數(shù)乙數(shù)" ，將210 330 分解質(zhì)因數(shù)，再進(jìn)行組合有210 330=2 3 5 7 2
3 5 11 =22 32 52 7 11 = （2 3 5 ）（2 3 5 7 11）

    因此，它們的最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的7 11=77 （倍）。

    11. 根據(jù)題意，先求出8 ，10，16的最小公倍數(shù)是80，即從第一次三車同時(shí)
發(fā)出后，每隔80分鐘又同時(shí)發(fā)車。

    從早上6 ：00至20：00共14小時(shí)，求出其中包含多少個(gè)80分鐘。

    60 14 80=10 …40分鐘由此可知，20：00前40分鐘，即19：20為最后一次三
車同時(shí)發(fā)車的時(shí)刻。

    12. 甲乙兩數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的兩個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。而這兩
個(gè)互質(zhì)數(shù)的乘積，恰好是甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公約數(shù)所得的商
——12. 這一結(jié)論的根據(jù)是：（我們以" 約" 代表兩數(shù)的最大公約數(shù)，以" 倍"
代表兩數(shù)的最小公倍數(shù)）

    甲數(shù)乙數(shù)= 倍約= ，所以：= ， =12將12變成互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)的乘積：①12=4
3 ，②12=1 12 先看①，說明甲乙兩數(shù)：一個(gè)是它們最大公約數(shù)的4 倍，一個(gè)是
它們最大公約數(shù)的3 倍。

    甲乙兩數(shù)的差除以上述互質(zhì)的兩數(shù)（即4 和3 ）之差，所得的商，即甲乙兩
數(shù)的最大公約數(shù)。

    18（4-3 ）=18 甲乙兩數(shù)，一個(gè)是：18 3=54 ，另一個(gè)是：18 4=72.再看②，
18（12-1）= ，不符合題意，舍去。

    13. 依題意，設(shè)所求最小分?jǐn)?shù)為，則=a =b =c即 =a =b =c 其中a ，b ，c
為整數(shù)。

    因?yàn)槭亲钚≈�，且a ，b ，c 是整數(shù)，所以M 是5 ，15，21的最小公倍數(shù)，
N 是28，56，20的最大公約數(shù)，因此，符合條件的最小分?jǐn)?shù)： = = 14.（1 ）根
據(jù)2 號(hào)~15 號(hào)同學(xué)所述結(jié)論，將合數(shù)4 ，6 ，…，15分解質(zhì)因數(shù)后，由1 號(hào)同學(xué)
驗(yàn)證結(jié)果，進(jìn)行分析推理得出問題的結(jié)論。

    4=22，6=2 3 ，8=23，9=32，10=2 5，12=22 3 ，14=2 7，15=3 5由此不難
斷定說得不對(duì)的兩個(gè)同學(xué)的編號(hào)是8 與9 兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)（可逐次排除，只有8
與9 滿足要求）。

    （2 ）1 號(hào)同學(xué)所寫的自然數(shù)能被2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，10，11，12，
13，14，15這12個(gè)數(shù)整除，也就是它們的公倍數(shù)。它們的最小公倍數(shù)是22 3 5 7
11 13=60060 因?yàn)?0060 是一位五位數(shù)，而這12個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，
所以1 號(hào)同學(xué)寫的五位數(shù)是60060.