一、填空題1.28的所有約數(shù)之和是_____. 2. 用105 個(gè)大小相同的正方形拼
成一個(gè)長方形，有_____ 種不同的拼法。

    3.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字減個(gè)位數(shù)字的差是28的約數(shù)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字
的積是24. 這個(gè)兩位數(shù)是_____. 4. 李老師帶領(lǐng)一班學(xué)生去種樹，學(xué)生恰好被平
均分成四個(gè)小組，總共種樹667 棵，如果師生每人種的棵數(shù)一樣多，那么這個(gè)班
共有學(xué)生_____ 人。

    5.兩個(gè)自然數(shù)的和是50，它們的最大公約數(shù)是5 ，則這兩個(gè)數(shù)的差是_____.
6.現(xiàn)有梨36個(gè)，桔108 個(gè)，分給若干個(gè)小朋友，要求每人所得的梨數(shù)，桔數(shù)相等，
最多可分給_____ 個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友得梨_____ 個(gè)，桔_____ 個(gè)。

    7.一塊長48厘米、寬42厘米的布，不浪費(fèi)邊角料，能剪出最大的正方形布片
_____ 塊。

    8.長180 厘米，寬45厘米，高18厘米的木料，能鋸成盡可能大的正方體木塊
（不余料）_____ 塊。

    9.張師傅以1 元錢3 個(gè)蘋果的價(jià)格買蘋果若干個(gè)，又以2 元錢5 個(gè)蘋果的價(jià)
格將這些蘋果賣出，如果他要賺得10元錢利潤，那么他必須賣出蘋果_____ 個(gè)。

    10. 含有6 個(gè)約數(shù)的兩位數(shù)有_____ 個(gè)。

    11. 寫出小于20的三個(gè)自然數(shù)，使它們的最大公約數(shù)是1 ，但兩兩均不互質(zhì)，
請問有多少組這種解？

    12. 和為1111的四個(gè)自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)最大能夠是多少？

    13. 狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次跳米，黃鼠狼每次跳米，它們每
秒鐘都只跳一次。比賽途中，從起點(diǎn)開始每隔米設(shè)有一個(gè)陷井，當(dāng)它們之中有一
個(gè)掉進(jìn)陷井時(shí)，另一個(gè)跳了多少米？

    14. 已知a 與b 的最大公約數(shù)是12，a 與c 的最小公倍數(shù)是300 ，b 與c 的
最小公倍數(shù)也是300 ，那么滿足上述條件的自然數(shù)a ，b ，c 共有多少組？

    （例如：a=12、b=300 、c=300 ，與a=300 、b=12、c=300 是不同的兩個(gè)自
然數(shù)組）

---------------答 案----------------------

    答案：1. 56 28的約數(shù)有1 ，2 ，4 ，7 ，14，28，它們的和為1+2+4+7+14+28=56.
2. 4因?yàn)?05 的約數(shù)有1 ，3 ，5 ，7 ，15，21，35，105 能拼成的長方形的長
與寬分別是105 和1 ，35和3 ，21與5 ，15與7.所以能拼成4 種不同的長方形。

    3. 64 因?yàn)?8=2 2 7，所以28的約數(shù)有6 個(gè)：1 ，2 ，4 ，7 ，14，28. 在
數(shù)字0 ，1 ，2 ，…，9 中，只有6 與4 之積，或者8 與3 之積是24，又6-4=2 ，
8-3=5.故符合題目要求的兩位數(shù)僅有64. 4. 28 因?yàn)?67=23 29 ，所以這班師生
每人種的棵數(shù)只能是667 的約數(shù)：1 ，23，29，667.顯然，每人種667 棵是不可
能的。

    當(dāng)每人種29棵樹時(shí)，全班人數(shù)應(yīng)是23-1=22 ，但22不能被4 整除，不可能。

    當(dāng)每人種23棵樹時(shí)，全班人數(shù)應(yīng)是29-1=28 ，且28恰好是4 的倍數(shù)，符合題
目要求。

    當(dāng)每人種1 棵樹時(shí)，全班人數(shù)應(yīng)是667-1=666 ，但666 不能被4 整除，不可
能。

    所以，一班共有28名學(xué)生。

    5. 40 或20兩個(gè)自然數(shù)的和是50，最大公約數(shù)是5 ，這兩個(gè)自然數(shù)可能是5
和45，15和35，它們的差分別為（45-5= ）40，（35-15=）20，所以應(yīng)填40或20.
[ 注] 這里的關(guān)鍵是依最大公約數(shù)是5 的條件，將50分拆為兩數(shù)之和：50=5+45=15+35.
6. 36 ，1 ，3.要把梨36個(gè)、桔子108 個(gè)分給若干個(gè)小朋友，要求每人所得的梨
數(shù)、桔子相等，小朋友的人數(shù)一定是36的約數(shù)，又要是108 的約數(shù)，即一定是36
和108 的公約數(shù)。因?yàn)橐�求最多可分給多少個(gè)小朋友，可知小朋友的人數(shù)是36和
108 的最大公約數(shù)。36和108 的最大公約數(shù)是36，也就是可分給36個(gè)小朋友。

    每個(gè)小朋友可分得梨： 36 36=1（只）

    每個(gè)小朋友可分得桔子： 108 36=3 （只）

    所以，最多可分得36個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友可分得梨1 只，桔子3 只。

    7. 56 剪出的正方形布片的邊長能分別整除長方形的長48厘米及寬42厘米，
所以它是48與42的公約數(shù)，題目又要求剪出的正方形最大，故正方形的邊長是48
與42的最大公約數(shù)。

    因?yàn)?8=2 2 2 2 3，42=2 3 7，所以48與42的最大公約數(shù)是6.這樣，最大正
方形的邊長是6 厘米。由此可按如下方法來剪：長邊每排剪8 塊，寬邊可剪7 塊，
共可剪（48 6）（42 6）=8 7=56 （塊）正方形布片。

    8. 200根據(jù)沒有余料的條件可知長、寬和高分別能被正方體的棱長整除，即
正方體的棱長是180 ，45和18的公約數(shù)。為了使正方體木塊盡可能大，正方體的
棱長應(yīng)是180 、45和18的最大公約數(shù)。180 ，45和18的最大公約數(shù)是9 ，所以正
方體的棱長是9 厘米。這樣，長180 厘米可公成20段，寬45厘米可分成5 段，高
18厘米可分成2 段。這根木料共分割成（180 9 ）（45 9）（18 9）=200塊棱長
是9 厘米的正方體。

    9. 150根據(jù)3 與5 的最小公倍數(shù)是15，張老師傅以5 元錢買進(jìn)15個(gè)蘋果，又
以6 元錢賣出15個(gè)蘋果，這樣，他15個(gè)蘋果進(jìn)與出獲利1 元。所以他獲利10元必
須賣出150 個(gè)蘋果。

    10. 16含有6 個(gè)約數(shù)的數(shù)，它的質(zhì)因數(shù)有以下兩種情況：一是有5 個(gè)相同的
質(zhì)因數(shù)連乘；二是有兩個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)其中一個(gè)需連乘兩次，如果用M 表示含有
6 個(gè)約數(shù)的數(shù)，用a 和b 表示M 的質(zhì)因數(shù)，那么或因?yàn)镸 是兩位數(shù)，所以M= a5
只有一種可能M=25，而M= a2 b 就有以下15種情況：，。

    所以，含有6 個(gè)約數(shù)的兩位數(shù)共有15+1=16 （個(gè)）

    11. 三個(gè)數(shù)都不是質(zhì)數(shù)，至少是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，兩兩之間的最大公約數(shù)只
能分別是2 ，3 和5 ，這種自然數(shù)有6 ，10，15和12，10，15及18，10，15三組。

    12. 四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)必須能整除這四個(gè)數(shù)的和，也就是說它們的最大公
約數(shù)應(yīng)該是1111的約數(shù)。將1111作質(zhì)因數(shù)分解，得1111=11 101 最大公約數(shù)不可
能是1111，其次最大可能數(shù)是101.若為101 ，則將這四個(gè)數(shù)分別除以101 ，所得
商的和應(yīng)為11. 現(xiàn)有1+2+3+5=11，即存在著下面四個(gè)數(shù)101 ，101 2 ，101 3 ，
101 5 ，它們的和恰好是101 （1+2+3+5 ）=101 11=1111，它們的最大公約數(shù)為
101.所以101 為所求。

    13. 黃鼠狼掉進(jìn)陷井時(shí)已跳的行程應(yīng)該是與的" 最小公倍數(shù)" ，即跳了 =9
次掉進(jìn)陷井，狐貍掉進(jìn)陷井時(shí)已跳的行程應(yīng)該是和的" 最小公倍數(shù)" ，即跳了 =11
次掉進(jìn)陷井。

    經(jīng)過比較可知，黃鼠狼先掉進(jìn)陷井，這時(shí)狐貍已跳的行程是 9=40.5 （米）。

    14. 先將12、300 分別進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解：12=22 3 300=22 3 52 （1 ）確定
a 的值。依題意a 只能取12或12 5（=60 ）或12 25 （=300）。

    （2 ）確定b 的值。

    當(dāng)a=12時(shí)，b 可取12，或12 5，或12 25 ；當(dāng)a=60，300 時(shí)，b 都只能取12.
所以，滿足條件的a 、b 共有5 組：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300 b=12， b=60 ，
b=300 ， b=12 ， b=12.（3 ）確定a ，b ，c 的組數(shù)。

    對于上面a 、b 的每種取值，依題意，c 均有6 個(gè)不同的值：52，52 2，52
22，52 3，52 2 3，52 22 3 ，即25，50，100 ，75，150 ，300.所以滿足條件
的自然數(shù)a 、b 、c 共有5 6=30（組）