一、填空題1.四位數(shù)"3AA1"是9 的倍數(shù)，那么A=_____. 2. 在"25 □79這個(gè)
數(shù)的□內(nèi)填上一個(gè)數(shù)字，使這個(gè)數(shù)能被11整除，方格內(nèi)應(yīng)填_____. 3. 能同時(shí)被
2 、3 、5 整除的最大三位數(shù)是_____. 4. 能同時(shí)被2 、5 、7 整除的最大五位
數(shù)是_____. 5. 1 至100 以內(nèi)所有不能被3 整除的數(shù)的和是_____. 6. 所有能被
3 整除的兩位數(shù)的和是______. 7.已知一個(gè)五位數(shù)□691 □能被55整除，所有符
合題意的五位數(shù)是_____. 8. 如果六位數(shù)1992□□能被105 整除，那么它的最后
兩位數(shù)是_____. 9. 42□28□是99的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)除以99所得的商是_____. 10.
從左向右編號(hào)為1 至1991號(hào)的1991名同學(xué)排成一行，從左向右1 至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)
為11的同學(xué)原地不動(dòng)，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再?gòu)淖笙蛴? 至11報(bào)數(shù)，
報(bào)數(shù)為11的留下，其余同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1 至11報(bào)數(shù)，報(bào)到
11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列，那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最
初編號(hào)是_____ 號(hào)。

    二、解答題11. 173 □是個(gè)四位數(shù)字。數(shù)學(xué)老師說(shuō)：" 我在這個(gè)□中先后填
入3 個(gè)數(shù)字，所得到的3 個(gè)四位數(shù)，依次可被9 、11、6 整除。" 問(wèn)：數(shù)學(xué)老師
先后填入的3 個(gè)數(shù)字的和是多少？

    12. 在1992后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使它們分別能被2 、3 、
5 、11整除，這個(gè)七位數(shù)最小值是多少？

    13. 在" 改革" 村的黑市上，人們只要有心，總是可以把兩張任意的食品票
換成3 張其他票券，也可以反過(guò)來(lái)交換。試問(wèn)，合作社成員瓦夏能否將100 張黃
油票換成100 張香腸票，并且在整個(gè)交換過(guò)程中剛好出手了1991張票券？

    14. 試找出這樣的最小自然數(shù)，它可被11整除，它的各位數(shù)字之和等于13.

---------------答 案----------------------

    1. 7已知四位數(shù)3AA1正好是9 的倍數(shù)，則其各位數(shù)字之和3+A+A+1 一定是9
的倍數(shù)，可能是9 的1 倍或2 倍，可用試驗(yàn)法試之。

    設(shè)3+A+A+1=9 ，則A=2.5 ，不合題意。再設(shè)3+A+A+1=18，則A=7 ，符合題意。

    事實(shí)上，3771 9=419. 2. 1這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和之差是
0 或是11的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)能被11整除。偶數(shù)位上數(shù)字和是5+7=12，因而，奇
數(shù)位上數(shù)字和2+□+9應(yīng)等于12，□內(nèi)應(yīng)填12-2-9=1. 3. 990要同時(shí)能被2 和5 整
除，這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位一定是0.要能被3 整除，又要是最大的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)是
990. 4. 99960 解法一：能被2 、5 整除，個(gè)位數(shù)應(yīng)為0 ，其余數(shù)位上盡量取9 ，
用7 去除999 □0 ，可知方框內(nèi)應(yīng)填6.所以，能同時(shí)被2 、5 、7 整除的最大五
位數(shù)是99960.解法二：或者這樣想，2 ，5 ，7 的最小公倍數(shù)是70，而能被70整
除的最小六位是100030. 它減去70仍然是70的倍數(shù)，所以能被2 ，5 ，7 整除的
最大五位數(shù)是100030-70=99960. 5. 3367先求出1~100 這100 個(gè)數(shù)的和，再求100
以內(nèi)所有能被3 整除的數(shù)的和，以上二和之差就是所有不能被3 整除的數(shù)的和。

    （1+2+3+…+100）- （3+6+9+12+ …+99 ）

    = （1+100 ） 2 100- （3+99） 2 33 =5050-1683 =3367 6. 1665能被3 整
除的二位數(shù)中最小的是12，最大的是99，所有能被3 整除的二位數(shù)如下：12，15，
18，21，…，96，99這一列數(shù)共30個(gè)數(shù)，其和為12+15+18+ …+96+99 =（12+99 ）

    30 2 =1665 7. 96910 或46915 五位數(shù)能被55整除，即此五位數(shù)既能被5 整
除，又能被11整除。所以B=0 或5.當(dāng)B=0 時(shí)，能被11整除，所以（A+9+0 ）-
（6+1 ）

    =A+2能被11整除，因此A=9 ；當(dāng)B=5 時(shí)，同樣可求出A=4.所以，所求的五位
數(shù)是96910 或46915. 8. 90因?yàn)?05=3 5 7 ，根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì)，可知這個(gè)六位
數(shù)能同時(shí)被3 、5 和7 整除。

    根據(jù)能被5 整除的數(shù)的特征，可知這個(gè)六位數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是0 或5 兩種，
再根據(jù)能被3 整除的數(shù)的特征，可知這個(gè)六位數(shù)有如下七個(gè)可能：199200，199230，
199260，199290，199215，199245，199275. 最后用7 去試除知，199290能被7
整除。

    所以，199290能被105 整除，它的最后兩位數(shù)是90. [ 注] 此題也可以這樣
思考：先把后面兩個(gè)方框中填上0 后的199200除以105 ，根據(jù)余數(shù)的大小來(lái)決定
最后兩個(gè)方框內(nèi)應(yīng)填什么。

    199200 105=1897 …15 105-15=90如果199200再加上90，199290便可被105
整除，故最后兩位數(shù)是90. 9. 4316 因?yàn)?9=9 11 ，所以42□28□既是9 的倍數(shù)，
又是11的倍數(shù)。根據(jù)是9 的倍數(shù)的特點(diǎn)，這個(gè)數(shù)各位上數(shù)字的和是9 的倍數(shù)。42
□28□這個(gè)六位數(shù)中已知的四個(gè)數(shù)的和是4+2+2+8=16，因此空格中兩個(gè)數(shù)字的和
是2 或11. 我們把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已知兩個(gè)數(shù)字的和
是2+2=4 ，而偶位上已知兩個(gè)數(shù)字的和是4+8=12，再根據(jù)是11的倍數(shù)的特點(diǎn)，奇
位上數(shù)字的和與偶位上數(shù)的和之差是0 或11的倍數(shù)，所以填入空格的兩個(gè)數(shù)應(yīng)該
相差3 或相差8.從以上分析可知填入的兩個(gè)數(shù)字的和不可能是2 ，應(yīng)該是11. 顯
然它們的差不可能是8 ，應(yīng)該是3 ，符合這兩個(gè)條件的數(shù)字只有7 和4.填入空格
時(shí)要注意7 填在偶位上，4 填在奇位上，即原六位數(shù)是42 7 28 4 ，又427284 99=4316，
所以所得的商是4316. 10. 1331第一次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)最初編號(hào)都是11倍數(shù)；
第二次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)最初編號(hào)都是121 的倍數(shù)；第三次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)最
初編號(hào)都是1331的倍數(shù)。

    所以最后留下的只有一位同學(xué)，他的最初編號(hào)是1331. 11. ∵能被9 整除的
四位數(shù)的各位數(shù)字之和能被9 整除，1+7+3+□=11+□∴□內(nèi)只能填7.∵能被11整
除的四位數(shù)的個(gè)位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的數(shù)字和所得的差能被11整除。

    ∴（7+□）- （1+3 ）=3+ □能被11整除，∴□內(nèi)只能填8.∵能被6 整除的
自然數(shù)是偶數(shù)，并且數(shù)字和能被3 整除，而1+7+3+□=11+□，∴□內(nèi)只能填4.所
以，所填三個(gè)數(shù)字之和是7+8+4=19. 12. 設(shè)補(bǔ)上的三個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，由這個(gè)
七位數(shù)能被2 ，5 整除，說(shuō)明c=0 ；由這個(gè)七位數(shù)能被3 整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c
能被11整除，從而a+b 能被3 整除；由這個(gè)七位數(shù)又能被11整除，可知（1+9+a+c
）-（9+2+b ）=a-b-1能被11整除；由所組成的七位數(shù)應(yīng)該最小，因而取a+b=3
，a-b=1，從而a=2 ，b=1.所以這個(gè)最小七位數(shù)是1992210. [注] 小朋友通常的解
法是：根據(jù)這個(gè)七位數(shù)分別能被2 ，3 ，5 ，11整除的條件，這個(gè)七位數(shù)必定是
2 ，3 ，5 ，11的公倍數(shù)，而2 ，3 ，5 ，11的最小公倍數(shù)是2 3 5 11=330. 這
樣，1992000 330=6036…120 ，因此符合題意的七位數(shù)應(yīng)是（6036+1）倍的數(shù)，
即1992000+（330-120 ）=1992210. 13. 不可能。由于瓦夏原有100 張票，最后
還有100 張票，所以他作了多少次" 兩換三" ，那么也就作了多少次" 三換兩" ，
因此他一共出手了2k+3k=5k張票，而1991不是5 的倍數(shù)。

    14. 顯然，這樣的自然數(shù)不可能為兩位數(shù)，因?yàn)槿绻�是兩位�?shù)的話，則必然
具有形式，但為偶數(shù)，與它的各位數(shù)字之和等于13矛盾�，F(xiàn)設(shè)求之?dāng)?shù)為三位數(shù) .
于是由題意，且由被11整除的判別法則知是11的倍數(shù)。又由于所求之?dāng)?shù)為最小，
故有 =11. 兩式相減得 .于是 12 ，由于 .當(dāng) .所以，所求的最小自然數(shù)是319.