一、填空題1.黑板上寫著8 ，9 ，10，11，12，13，14七個(gè)數(shù)，每次任意擦
去兩個(gè)數(shù)，再寫上這兩個(gè)數(shù)的和減1.例如，擦掉9 和13，要寫上21. 經(jīng)過幾次后，
黑板上就會(huì)只剩下一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是_____. 2. 口袋里裝有99張小紙片，上面分
別寫著1~99. 從袋中任意摸出若干張小紙片，然后算出這些紙片上各數(shù)的和，再
將這個(gè)和的后兩位數(shù)寫在一張新紙片上放入袋中。經(jīng)過若干次這樣的操作后，袋
中還剩下一張紙片，這張紙片上的數(shù)是_____. 3. 用1~10十個(gè)數(shù)隨意排成一排。

    如果相鄰兩個(gè)數(shù)中，前面的大于后面的，就將它們變換位置。如此操作直到
前面的數(shù)都小于后面的數(shù)為止。已知10在這列數(shù)中的第6 位，那么最少要實(shí)行_____
次交換。最多要實(shí)行_____ 次交換。

    4.一個(gè)自然數(shù)，把它的各位數(shù)字加起來得到一個(gè)新數(shù)，稱為一次變換，例如
自然數(shù)5636，各位數(shù)字之和為5+6+3+6=20，對20再作這樣的變換得2+0=2.可以證
明進(jìn)行這種變換的最后結(jié)果是將這個(gè)自然數(shù)，變成一個(gè)一位數(shù)。

    對數(shù)123456789101112 …272829作連續(xù)變換，最終得到的一位數(shù)是_____. 5.
5 個(gè)自然數(shù)和為100 ，對這5 個(gè)自然數(shù)進(jìn)行如下變換，找出一個(gè)最小數(shù)加上2 ，
找出一個(gè)最大數(shù)減2.連續(xù)進(jìn)行這種變換，直至5 個(gè)數(shù)不發(fā)生變化為止，最后的5
個(gè)數(shù)可能是_____. 6. 在黑板上寫兩個(gè)不同的自然數(shù)，擦去較大數(shù)，換成這兩個(gè)
數(shù)的差，我們稱之為一次變換。比如（15，40），40-15=25，擦去40，寫上25，
兩個(gè)數(shù)變成（15，25），對得到的兩個(gè)數(shù)仍然可以繼續(xù)作這樣的變換，直到兩個(gè)
數(shù)變得相同為止，比如對（15，40）作這樣的連續(xù)變換：（15，40）（15，25）

    （15，10）（5 ，10）（5 ，5 ）。

    對（1024，111 …1 ）作這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個(gè)相同的20個(gè)1 數(shù)
是_____. 7. 在一塊長黑板上寫著450 位數(shù)123456789123456789…（將123456789
重復(fù)50次）。刪去這個(gè)數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字：再刪去所得的數(shù)中所有位
于奇數(shù)位上的數(shù)字：再刪去…，并如此一直刪下去。最后刪去的數(shù)字是_____. 8.
將100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)字串，依次完成以下五項(xiàng)工作叫做一次操
作：①  將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；②  從左到右兩位一節(jié)組成若
干這兩位數(shù)；③  劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；④  所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，
保留左邊的一個(gè)，其余劃去；⑤  所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個(gè)新的
數(shù)字串。

    經(jīng)過1997次操作，所得的數(shù)字串是_____. 9. 一個(gè)三角形全涂上黑色，每次
進(jìn)行一次操作，即把全黑三角形分成四個(gè)全等的小三角形，中間的小正三角形涂
上白色，經(jīng)過5 次操作后，黑色部分是整個(gè)三角形的_____.

    （1 ）（2 ）

    10. 口袋里裝著分別寫有1 ，2 ，3 ，…，135 的紅色卡片各一張，從口袋
里任意摸出若干張卡片，并算出這若干張卡片上各數(shù)的和除以17的余數(shù)，再把這
個(gè)余數(shù)寫在另一張黃色的卡片上放回口袋內(nèi)。經(jīng)過若干次這樣的操作后，口袋內(nèi)
還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片。已知這兩張紅色卡片上寫的數(shù)分別是19和
97. 那么這張黃色卡片上寫的數(shù)是_____.

    二、解答題11. 請說明例1 中，對1980的連續(xù)變換中一定會(huì)出現(xiàn)重復(fù)。對其
它的數(shù)作連續(xù)變換是不是也會(huì)如此？

    12. 將3 3 方格紙的每一個(gè)方格添上奇數(shù)或偶數(shù)，然后進(jìn)行如下操作：將每
個(gè)方格里的數(shù)換成與它有公共邊的幾個(gè)方格里的數(shù)的和，問是否可以經(jīng)過一定次
數(shù)的操作，使得所有九個(gè)方格里的數(shù)都變成偶數(shù)？如果可以，需要幾次？

    13. 在左下圖中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數(shù)字同時(shí)加1 或減1 算
作一次操作，經(jīng)過若干次操作后變?yōu)橄聢D。問：下圖A 格中的數(shù)字是幾？為什么？

    14. 在1997 1997 的方形棋盤上每格都裝有一盞燈和一個(gè)按鈕，按鈕每按一
次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài)，即由亮變不亮，不亮變
亮。如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部
變亮？

---------------答 案----------------------

    1. 71 所剩之?dāng)?shù)等于原來的七個(gè)數(shù)之和減6 ，故這個(gè)數(shù)是（8+9+10+11+12+13+14）

    -6=71. 2. 50每次操作都不改變袋中所有數(shù)之和除以100 的余數(shù)，所以最后
一張紙片上的數(shù)等于1~99的和除以100 的余數(shù)。

    （1+2+…+99 ） 100= 100 =4950 100 =49 100+50

    故這張紙片上的數(shù)是50. 3. 4次；40次。

    當(dāng)排列順序?yàn)? ，2 ，3 ，4 ，5 ，10，6 ，7 ，8 ，9 時(shí)，交換次數(shù)最少，
需交換4 次；當(dāng)排列順序?yàn)? ，8 ，7 ，6 ，5 ，10，4 ，3 ，2 ，1 時(shí)，交換
次數(shù)最多，需交換40次。

    4. 3一個(gè)整數(shù)被9 除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9 除的余數(shù)，如果這個(gè)
整數(shù)不是9 的倍數(shù)，就可以根據(jù)這一點(diǎn)來確定題目要求的一位數(shù)。

    （1+2+…+9） 3+1 10+2 10被9 除余3 ，可見最終得到的一位數(shù)是3.

    5. 20 ，20，20，20，20，或19，20，20，20，21或19，19，20，21， 21.
仿例2 ，5 個(gè)數(shù)的差距會(huì)越來越小，最后最大與最小數(shù)最多差2.最終的5 個(gè)數(shù)可
能是20，20，20，20，20，或者19，20，20，20，21或19，19，20，21，21. 6.
1 變換中的兩個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)始終末變，是后得到的兩個(gè)相同的數(shù)即為
它們的最大公約數(shù)。因?yàn)?024=210，而11…1 20個(gè)1 沒有質(zhì)因子2 ，它們是互質(zhì)
的。所以最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)是1. 7.  4事實(shí)上，在第一次刪節(jié)之后。留下
的皆為原數(shù)中處于偶數(shù)位置上的數(shù)；在第二次刪節(jié)之后，留下的數(shù)在原數(shù)中所處
的位置可被4 整除；如此等等。于是在第八次刪節(jié)之后，原數(shù)中只留下處于第28
k=256k號(hào)位置上的數(shù)，這樣的數(shù)在所給的450 位數(shù)中只有一個(gè)，即第256 位數(shù)。

    由于256=9 28+4，所以該數(shù)處于第29組"123456789" 中的第4 個(gè)位置上。即
為4. 8. 1731第1 次操作得數(shù)字串711131131737；第2 次操作得數(shù)字串11133173
；第3 次操作得數(shù)字串111731；第4 次操作得數(shù)字串1173；第5 次操作得數(shù)字串
1731第6 次操作得數(shù)字串7311；第7 次操作得數(shù)字串3117；第8 次操作得數(shù)字串
1173；以下以4 為周期循環(huán)，即4k次操作均為1173. 1996=4 499，所以第1996次
操作得數(shù)字串1173，因此第1997次操作得數(shù)字串1731. 9.每一次黑三角形個(gè)數(shù)為
整個(gè)的，所以5 次變換為 = 10. 3卡片上的數(shù)字之和除以17的余數(shù)始終不變。

    （1+2+3+…+135） 17=9180 17=540.（19+97 ） 17=116 17=6……14，因?yàn)?br /> 黃色卡片上的數(shù)都小于17，所以黃色卡片上的數(shù)是17-14=3. 11.對1980的連續(xù)變
換中，每個(gè)數(shù)都不大于1980+1991=3971，所以在3971步之內(nèi)必定會(huì)出現(xiàn)重復(fù)，對
其它的數(shù)作連續(xù)變換也會(huì)如此。

    12. 如圖，用字母a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，I 代表9 個(gè)方格內(nèi)的
數(shù)字，0 代表偶數(shù)。

    a b c b+d a+e+c b+f g+c b+h a+i d e f a+e+g d+b+h+f c+e+i d+f 0 d+f
g h i d+h g+e+i h+f a+i b+h g+c d+f+b+h g+c+a+i b+h+d+f 0 0 0 g+c+a+i
0 g+c+a+i 0 0 0 d+f+b+h a+I+g+c b+h+d+f 0 0 0 可見經(jīng)過四次操作后，所有
九個(gè)方格中的數(shù)全變?yōu)榕紨?shù)。

    13. 每次操作都是在相鄰的兩格，我們將相鄰的兩格染上不同的顏色（如右
下圖），因?yàn)槊看尾僮骺偸且粋�(gè)黑格與一個(gè)白格同時(shí)加1 或減1 ，所以無論進(jìn)行
多少次操作，白格內(nèi)的數(shù)字之和減去黑格內(nèi)的數(shù)字之和總是常數(shù)。由原題左圖知
這個(gè)常數(shù)是8 ，再由原題右圖可得（A+7 ）-8=8，由此解得A=9.

    14. 1997次將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改
變一次狀態(tài)，由不亮變亮。而第一列每格的燈都改變1997次狀態(tài)，由不亮變亮。

    如果少于1997次，則至少有一列和至少有一行沒有被按過，位于這一列和這
一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態(tài)。