一、填空題1.有一列由三個(gè)數(shù)組成的數(shù)組，它們依次是（1 ，5 ，10）；
（2 ，10，20）；（3 ，15，30）；……第99個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和是______.

    2.有數(shù)組：（1 ，1 ，1 ），（2 ，4 ，8 ），（3 ，9 ，27），……，第
100 組的三個(gè)數(shù)之和是___.

    3.有數(shù)組{1，2 ，3 ，4}，{2，4 ，6 ，8}，{3，6 ，9 ，12} ，……，那
么第100 個(gè)數(shù)組的四個(gè)數(shù)的和是______.

    4.將自然數(shù)按下面的規(guī)律分組：（1 ，2 ），（3 ，4 ，5 ，6 ），（7 ，
8 ，9 ，10，11，12），（13， 14 ，15，16，17，18，19，20），……，第1991
組的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)各是______.

    5.將奇數(shù)按下列方式分組：（1 ），（3 ，5 ），（7 ，9 ，11），（13，
15，17，19），……。

    （1 ）第15組中第一個(gè)數(shù)是______；（2 ）第15組中所有數(shù)的和是______；
（3 ） 999位于第____組第____號(hào)。

    6.自然數(shù)列1 ，2 ，3 ，…，，…，它的第組含有2 -1個(gè)數(shù)，第10組中各數(shù)
的和是______.

    7.給定以下數(shù)列：，，，，，，，，，，…，（1 ）是第____項(xiàng)；（2 ）第
244 項(xiàng)是____；（3 ）前30項(xiàng)之和是____.

    8.在以下數(shù)列：，，，，，，，，，，，，…中，居于第___ 項(xiàng)。

    9.設(shè)自然數(shù)按下圖的格式排列：1 2 5 10 17 …

    4 3 6 11 18 …

    9 8 7 12 19 …

    16 15 14 13 20…

    25 24 23 22 21…

    ………………

    （1 ） 200所在的位置是第____行，第____列；（2 ）第10行第10個(gè)數(shù)是______.

    10. 緊接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的數(shù)字都是它們前面兩個(gè)數(shù)字之積的
個(gè)位數(shù)，例如8 ×9=72，在9 后面寫2 ，2 ×9=18，在2 后面寫8 ，…，這樣得
到一串?dāng)?shù)字，從1 開始，第1989個(gè)數(shù)字是______.

    二、解答題11. 將1 到1989的自然數(shù)從頭開始，依次第四個(gè)數(shù)一組，第一組
各數(shù)間添上"+" 號(hào)，第二組各數(shù)間添上" 一" 號(hào)，以后各組以"+" ，" 一" 號(hào)相
間隔，列成一個(gè)算式：1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-…。問(wèn)：（1 ） 1989
前添什么號(hào)？

    （2 ）求這個(gè)算式的結(jié)果。

    12. 把由1 開始的自然數(shù)依次寫下來(lái)：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
…。

    重新分組，按三個(gè)數(shù)字為一組：123 ，456 ，789 ，101 ，112 ，131 ，…，
問(wèn)第10個(gè)數(shù)是幾？

    13. 根據(jù)下圖回答：（1 ）第一行的第8 個(gè)數(shù)是幾？

    （2 ）第五行第六列上的數(shù)是幾？

    （3 ） 200的位置在哪一格（說(shuō)出所在行和列的序號(hào)）？

    14. 已知自然數(shù)組成的數(shù)列：1 ，2 ，3 ，…，9 ，10，11，12，…，把這
個(gè)數(shù)列的10和大于10的數(shù)，全部用逗號(hào)隔成一位數(shù)，做成一個(gè)新的數(shù)列：1 ，2 ，
3 ，…，9 ，1 ，0 ，1 ，1 ，1 ，2 ，…。

    問(wèn)：（1 ）中100 這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的"0" 在中是第幾個(gè)數(shù)？

    （2 ）中第100 個(gè)數(shù)是幾？這個(gè)數(shù)在中的哪個(gè)數(shù)內(nèi)？是它的哪一位數(shù)？

    （3 ）到的第100 個(gè)數(shù)為止，"3" 這個(gè)數(shù)字出現(xiàn)了幾次？

    （4 ）中前100 個(gè)數(shù)的和是多少？

---------------答 案----------------------

    答案：1.解法一這串?dāng)?shù)組，各組數(shù)的和是16，32，48，…。各組數(shù)的和分別
是按16的1 倍，2 倍，3 倍，……的規(guī)律遞增。因此，第99個(gè)數(shù)組的和是16×99=16
×（100-1 ）=1600-16=1584.解法二通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，每一組括號(hào)中的三個(gè)數(shù)
的關(guān)系是：第一個(gè)數(shù)表示組數(shù)，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的5 倍，第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)
數(shù)的10倍。因此，第99組內(nèi)三個(gè)數(shù)應(yīng)為：（99，99×5 ，99×10）。所以，第99
個(gè)數(shù)組的和是：99+99 ×5+99×10=99 ×（1+5+10）

    =99 ×16 =1584

    2.解法一通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，每一組括號(hào)中三個(gè)數(shù)的關(guān)系是：第一個(gè)數(shù)表示
組數(shù)，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)自乘的積，第三個(gè)數(shù)是第一、二兩數(shù)的乘積，因此，
第100 組中的三個(gè)數(shù)應(yīng)分別是：第一個(gè)數(shù)是100 ；第二個(gè)數(shù)是100 ×100=10000
；第三個(gè)數(shù)是100 ×10000=1000000 ，所以，第100 組的三個(gè)數(shù)的和為：100+10000+1000000=1010100.
解法二通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)每一組的三個(gè)數(shù)的和可以用通項(xiàng)公式表示， =1 ，2 ，3 ，
…。因此，第100 組的三個(gè)數(shù)之和是：。

    3.解法一這串?dāng)?shù)組，各組數(shù)的和是10，20，30，40，…。因此，第100 個(gè)數(shù)
中的四個(gè)數(shù)的和是100 ×10=1000.解法二通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，每一組數(shù)括號(hào)中四
個(gè)數(shù)的關(guān)系是：第一個(gè)數(shù)表示組數(shù)，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的2 倍，第三個(gè)數(shù)是第
一個(gè)的3 倍，第四個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的4 倍。因此，第100 個(gè)數(shù)組內(nèi)的四個(gè)數(shù)分別
是：（100 ，200 ，300 ，400 ）。

    所以，第100 個(gè)數(shù)組的四個(gè)數(shù)的和是：100+200+300+400=1000.

    4.仔細(xì)觀察找出這些自然數(shù)分組的規(guī)律，再找出每一組的第一個(gè)數(shù)與該組的
序數(shù)之間的關(guān)系。

    第1 組的第1 個(gè)數(shù)是：1=（1-1 ）×1+1 ；第2 組的第1 個(gè)數(shù)是：3=（2-1 ）
×2+1 ；第3 組的第1 個(gè)數(shù)是：7=（3-1 ）×3+1 ；第4 組的第1 個(gè)數(shù)是：13=
（4-1 ）×4+1 ；……

    根據(jù)這一規(guī)律，可求出第1991組的第1 個(gè)數(shù)是：（1991-1）×1991+1=3962091.
第1992組的第一個(gè)數(shù)是：（1992-1）×1992+1=3966073. 因此，第1991組的最后
一個(gè)數(shù)是：3966073-1=3966072.

    5.（1 ）從第1 組到第14組的奇數(shù)有1+2+3+…+14= =105 （個(gè)）。

    因此，第15組最初一個(gè)數(shù)是第106 個(gè)奇數(shù)：2 ×106-1=211.（2 ）在第15組
中的數(shù)是以211 為首項(xiàng)，公差為2 ，項(xiàng)數(shù)等于15的等差數(shù)列，其和是15×211+×
2=3375. （3 ）設(shè)999 位于第組，因31×32=992，32×33=1056 ，所以 =32，第
32組最初一個(gè)數(shù)是：[2×（1+2+…+31 ）-1]+2=993.因此，999 是第32組的第4
號(hào)數(shù)。

    6.第1 組到第9 組共有自然數(shù)：1+3+5+…+ （2 ×9-1 ）= =18 （個(gè)）。

    因此，第10組第1 號(hào)數(shù)是82，第10組有2 ×10-1=19 個(gè)數(shù)，所以第10組各數(shù)
之和為。

    7.（1 ）以分母相同的分?jǐn)?shù)分組，并記分母為的分?jǐn)?shù)屬于第組，從而是第29
組的第13號(hào)數(shù)，第組由個(gè)分?jǐn)?shù)組成，從第1 組到第28組有1+2+3+…+28= =406 個(gè)
分?jǐn)?shù)，因此位于第406+13=419項(xiàng)。

    （2 ）因21×20=420，22×21=462，23×22=506，故第244 項(xiàng)在第22組，前
21組有 =231 個(gè)分?jǐn)?shù)，從而第244 項(xiàng)是居于第22組中的第13號(hào)數(shù)，是 .（3 ）前
30項(xiàng)之和為1+（1+2 ）+ （1+2+3 ）+ …+ （1+2+…+7）+ + =1+ + …+ + =
（2+3+4+…+8）+ = × + = =17 .

    8.將分子與分母之和相等者歸于同一組：，，，，…，其中在7+19-1=25 組，
是第19號(hào)數(shù)。1 至24組共有分?jǐn)?shù)1+2+3+…+24= =300 （個(gè)）。

    所以在原數(shù)列中是第300+19=319項(xiàng)。

    9.注意到第一列是完全平方數(shù)： 1，4 ，9 ，16，25，…。

    按（1 ），（2 ，3 ，4 ），（5 ，6 ，7 ，8 ，9 ），…分組，則200 在
196 與225 之間，屬第15組，倒數(shù)第4 個(gè)數(shù)，在第4 行、第15列上。

    第10行第10個(gè)數(shù)是位于第10行第10列上的數(shù)91.

    10. 寫出前面幾個(gè)數(shù)字：198928688428688428…，1989后面的六位數(shù)字出現(xiàn)
循環(huán)。

    （1989-4）÷6=330 …5 ，所以第1989位數(shù)字是8.

    11. 1989÷8=248 …5 ，所以1989前添的是"-" 號(hào)。觀察到，從第3 個(gè)數(shù)起，
每8 個(gè)數(shù)之和為0 ：3+4-5-6-7-8+9+10=0，11+12-13-14-15-16+17+18=0 ，……
……………………

    （1989-2）÷8=248 …3 ，所以，這個(gè)算式的結(jié)果是：1+2+1987+1988-1989=1989.

    12. 1 到9 有9 個(gè)數(shù)字，10到19有20個(gè)數(shù)字，第10個(gè)三位數(shù)是192.

    13. （1 ）所有自然數(shù)按自右上至左下以斜線分組：

    （1 ），（2 ，3 ），（4 ，5 ，6 ），（7 ，8 ，9 ，10），…，第組第
1 號(hào)數(shù)是第一行的第個(gè)數(shù)。從第1 組到第（ -1 ）組有：1+2+3+…+ （ -1 ）=
個(gè)數(shù)，從而第組第1 號(hào)數(shù)是 +1.因此，第1 行第8 個(gè)數(shù)是 +1=29. （2 ）一般地，
自上至下第行，自左至右第列上的數(shù)在第（ + -1 ）組中，第五行第六列上的數(shù)
在第10組中，第10組第1 號(hào)數(shù)是 +1=46，第10組在第五行的數(shù)是46+5-1=50.（3 ）
19×20=380，20×21=420，故200 在第20組中，第20組第一個(gè)數(shù)是+1=191，因此
數(shù)200 在第10行第11列的位置上。

    14. （1 ）數(shù)100 之前有數(shù)字9+2 ×90=189（個(gè)），所以數(shù)100 的個(gè)位上的
"0" 在中是第189+3=192 個(gè)數(shù)。

    （2 ）中第9+2 ×40=89 個(gè)數(shù)是中數(shù)49的"9" ：4950515253545556…，中第
100 個(gè)數(shù)是中數(shù)55的十位數(shù)上的"5".（3 ）到的第100 個(gè)數(shù)為止，數(shù)字"3" 一共
出現(xiàn)了1+1+1+11+1+1=16 （次）。

    （4 ）中前100 個(gè)數(shù)字之和為（1+2+…+9）×5+10×（1+2+3+4 ）+6×5+
（0+1+2+3+4 ）

    =225+100+30+10 =365.