一、填空題1.先觀察前面三個算式，從中找出規(guī)律，并根據(jù)找出的規(guī)律，直
接在（）內(nèi)填上適當?shù)臄?shù)。

    （1 ）123456789 ×9=1111111101，（2 ）123456789 ×18=2222222202 ，
（3 ）123456789 ×27=3333333303 ，（4 ）123456789 ×72= （），（5 ）123456789
×63= （），（6 ）6666666606÷54= （），（7 ）9999999909÷81= （），
（8 ）5555555505÷123456789=（）。

    2.將下列分數(shù)約成最簡分數(shù)：=____________.

    3.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個位數(shù)字大的兩位數(shù)有____個。

    4.大于1 的整數(shù)加下圖所示，排成8 列，數(shù)1000將在第____列。

    2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14

    5.將所有自然數(shù)如下圖排列。15120 這個數(shù)應在第____行第____個位置上。

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

    6. 11 個數(shù)排成一列，相鄰三個數(shù)之和等于20. 已知第2 個數(shù)是1 ，第13個
數(shù)是9 ，第9 個數(shù)是____.

    7.一數(shù)列相鄰四個數(shù)的和都是45，已知第6 個數(shù)是11，第19個數(shù)是5 ，第44
個數(shù)是24，那么第一個數(shù)是____.

    8.數(shù)列1 ，1991，1990，1 ，1989，1988，1 ，…從第三個數(shù)起，每個數(shù)是
前兩個數(shù)的差，這個數(shù)列中第一個零出現(xiàn)在第____項。

    9.例6 中第70個數(shù)被5 除余____.

    10. 如下圖，有一個六邊形點陣，它的中心是個點，算作第一層；第二層每
邊有兩個點（相鄰兩邊公用一個點）；第三層每邊有三個點，……這個六邊形點
陣共有層，第層有____個點，這個點陣共有____個點。

    二、解答題11. 現(xiàn)有如下一系列圖形：

    當 =1 時，長方形分為2 個直角三角形，總計數(shù)出5 條邊。

    當 =2 時，長方形分為8 個直角三角形，總計數(shù)出16條邊。

    當 =3 時，長方形分為18個直角三角形，總計數(shù)出33條邊。

    ……

    按如上規(guī)律請你回答：當 =100 時，長方形應分為多少個直角三角形？總計
數(shù)出多少條邊？

    12. 下面的（）、（）、（）、（）為四個平面圖。數(shù)一數(shù)，每個平面圖各
有多少個頂點？多少條邊？它們分別圍成了多少個區(qū)域？請將結(jié)果填入下表（按
填好的樣子做）。

    頂點數(shù)  邊數(shù)  區(qū)域數(shù)（）

    4 6  3（）

    （）

    （）

    ？觀察上表，推斷一個平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關系？？
現(xiàn)已知某個平面圖有999 個頂點，且圍成了999 個區(qū)域，試根據(jù)以上關系確定這
個圖有多少條邊。

    13. 全體奇數(shù)排成下圖形式，十字框子框出5 個數(shù)，要使這五個數(shù)之和等于，
（1 ） 1989 ；（2 ） 1990 ；（3 ） 2005 ；（4 ） 2035 ，能否辦到？若能
辦到，請你寫出十字框中的五個數(shù)。

    1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47

    14. 有一列數(shù)1 ，3 ，4 ，7 ，11，18…（從第三個數(shù)開始，每個數(shù)恰好是
它前面相鄰兩個數(shù)的和）。

    （1 ）第1991個數(shù)被6 除余幾？

    （2 ）把以上數(shù)列按下述方法分組（1 ），（3 ，4 ），（7 ，11，18）…
（第組含有個數(shù)），問第1991組的各數(shù)之和被6 除余數(shù)是幾？

---------------答 案----------------------

    答案：1. 8888888808 ， 7777777707 ， 123456789， 123456789， 45.

    2.因為，，，……，即分子分母添上相同個數(shù)的6 ，分數(shù)值不變，所以 .

    3.十位數(shù)字是1 時，這樣的兩位數(shù)只有10這1 個；十位數(shù)字是2 時，這樣的
兩位數(shù)有20，21這2 個；十位數(shù)字是3 時，這樣的兩位數(shù)有30，31，32這3 個；
……

    由此可以推知：" 十位上的數(shù)字是幾，符合條件的兩位數(shù)就有幾個。" 所以，
符合題目條件要求的兩位數(shù)，共計有：1+2+3 …+8+9=45.

    4.所有8 的倍數(shù)均在第三列中，數(shù)1000是8 的倍數(shù)，所以它在第三列中。

    5.每一行的最末一個數(shù)正好為該行行數(shù)的平方，該行開頭的數(shù)是前一行最末
一個數(shù)加1.由于1222<15120<1232 ，15120-1222=236，故15120 在第123 行的236
號上。

    6. 14 個數(shù)是每三個數(shù)的循環(huán)排列，第二個數(shù)是1 ，那么第8 個數(shù)也是1.第
13個數(shù)是9 ，那么第10個數(shù)也是9 ，所以第9 個數(shù)是20-1-9=10.

    7.數(shù)列每隔4 項重復出現(xiàn)。第2 個數(shù)是11，第3 個數(shù)是5 ，第4 個數(shù)是24，
那么第一個數(shù)是45- （11+5+24 ）=5.

    8.除開1 不看，數(shù)列是1991，1990，1989，1988，…，第1992個是0 ，再加
上前面的996 個1 ，第一個0 出現(xiàn)在第1992+996=2988 項上。

    9.寫出每個數(shù)被5 除的余數(shù)：0 ，1 ，3 ，3 ，1 ，0 ，4 ，2 ，2 ，4 ，
0 ，1 ，3 ，…

    可見每10個余數(shù)循環(huán)一次，70÷10=7，第70個數(shù)被5 除余為0.

    10. 觀察點陣中各層點數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點陣共有的點數(shù)。

    第一層有點數(shù)：1 ；第二層有點數(shù)：1 ×6 ；第三層有點數(shù)：2 ×6 ；第四
層有點數(shù)：3 ×6 ；……；第層有點數(shù)：（ -1 ）×6.因此，這個點陣的第層有
點（ -1 ）×6 個，層共有點數(shù)為1+1 ×6+2 ×6+3 ×6+…+ （ -1 ）×6 =1+6
×[1+2+3+ …+ （ -1 ）] =1+6×=1+3（ -1 ） .

    11. =1時，直角三角形2.12個，邊數(shù)=2.1（1+1 ）+12=5 ；=2時，直角三角
形2.22個，邊數(shù)=2.2（2+1 ）+22=16；=3時，直角三角形2.32個，邊數(shù)=2.3（3+1
）+32=33 ；對一般的，共分為2. 2個直角三角形，總計數(shù)出2 （ +1 ）+ 2 條邊。

    所以 =100 時，共分為2.1002=20000個直角三角形，總計數(shù)出2 ×100 ×
（100+1 ）+1002=30200 條邊。

    12. （1 ）填表如下：頂點數(shù)  邊數(shù)  區(qū)域數(shù)（）

    4 6 3 （）

    8 12 5（）

    6 9 4 （）

    10 15 6 （2 ）由該表可以看出，所給四個平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)
之間有下述關系：4+3-6=1 8+5-12=1 6+4-9=1 10+6-15=1所以，我們可以推斷：
任何平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間，都有下述關系：頂點數(shù)+ 區(qū)域數(shù)- 邊
數(shù)=1. （3 ）由上面所給的關系，可知所求平面圖的邊數(shù)。

    邊數(shù)= 頂點數(shù)+ 區(qū)域數(shù)-1 =999+999-1 =1997 注：本題第二問中的推斷是正
確的，也就是說任何平面圖的頂點數(shù)、區(qū)域數(shù)及邊數(shù)都能滿足我們所推斷的關系。
當然，平面圖有許許多多，且千變?nèi)f化，然而不管怎么變化，頂點數(shù)加區(qū)域數(shù)再
減邊數(shù)，最后的結(jié)果永遠等于1 ，這是不變的。因此，頂點數(shù)+ 區(qū)域數(shù)- 邊數(shù)就
稱為平面圖的不變量（有時也稱為平面圖的歐拉數(shù)——以數(shù)學家歐拉的名字命名）。

    13. 十字框中5 個數(shù)的和等于中間那個數(shù)的5 倍，1989不是5 的倍數(shù)，1990=5
×398 是5 的偶數(shù)倍，均不可能。2005÷5=401 ，能辦到的五個數(shù)是399 ，401 ，
403 ，389 ，413. 2005 ÷5=407 ，407 ÷12=33 …11，407 在最右邊一列上，
故不可能。

    14. 設表示數(shù)列中的等個數(shù)，= + （）， = +（ 6）（）。

    容易列出下表：

    被6 除的余數(shù)  1 3 4 1 5 0 5 5 4 3 1 4 5

    被6 除的余數(shù)  3 2 5 1 0 1 1 2 3 5 2 1 3 觀察上表可知 =（ 6）， =（
6 ），則 =（ 6）。就是說，數(shù)列中的數(shù)被6 除所得的余數(shù)，每隔24個數(shù)重復出
現(xiàn)。

    由于1991=24 ×82+23 ，因此 = =5 （ 6），即數(shù)列中等1991個數(shù)被6 除余
數(shù)是5.按規(guī)定分組后，前1990組共有：1+2+3+…+1990=1981045 （個）數(shù)，第1991
組的各數(shù)之和為 = + +…+ . 據(jù)上表可知，數(shù)列中任意相鄰的24個數(shù)之和被6 除
的余數(shù)就等于24個數(shù)分別被6 除所得余數(shù)之和被6 除所得的余數(shù)，即：+ + …+
= （1+3+4+1+5+0+5+5+4+5+3+1+4+5+3+2+5+1+0+1+1+1+2+ 3+5+2）=66=0 （ 6）。

    由1991=24 ×82+23 得= + + …+ +0×82（ 6）。

    有 + = + +…+ =0（ 6），1981045=24×82543+13，= =5（ 6），即被6 除
余數(shù)是5 ，故被6 除所得的余數(shù)應是1.