一、填空題1.下圖中一共有（）條線段。

    2.如下圖，O 為三角形A1A6A12 的邊A1A12 上的一點，分別連結(jié)OA2 ，OA3 ，
…OA11，這樣圖中共有_____ 個三角形。

    3.下圖中有_____ 個三角形。

    4.下圖中共有_____ 個梯形。

    5.數(shù)一數(shù)（1 ）一共有（）個長方形。

    （2 ）一共有（）個三角形。

    （1 ）（2 ）

    6.在下圖中，所有正方形的個數(shù)是______.

    7.在一塊畫有4 4 方格網(wǎng)木板上釘上了25顆鐵釘（如下圖），如果用線繩圍
正方形，最多可以圍出_____ 個。

    8.一塊相鄰的橫豎兩排距離都相等的釘板，上面有4 4 個釘（如右圖）。以
每個釘為頂點，你能用皮筋套出正方形和長方形共_____ 個。

    9.如下圖，方格紙上放了20枚棋子，以棋子為頂點的正方形共有_____ 個。

    10. 數(shù)一數(shù)，下圖是由_____ 個小立方體堆成的。要注意那些看不見的。

    二、解答題11. 右圖中共有7 層小三角形，求白色小三角形的個數(shù)與黑色小
三角形的個數(shù)之比。

    12. 下圖中，AB、CD、EF、MN互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差
是多少？

    13. 現(xiàn)在都是由邊長為1 厘米的紅色、白色兩種正方形分別組成邊長為2 厘
米、4 厘米、8 厘米、9 厘米的大小不同的正方形、它們的特點都是正方形的四
邊的小正方形都是涂有紅顏色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，
要組成這樣4 個大小不同的正方形，總共需要紅色正方形多少個？白色正方形多
少個？

    14. 將 ABC的每一邊4 等分，過各分點作邊的平行線，在所得下圖中有多少
個平行四邊形？

---------------答 案----------------------

    1. 30 由例1 注可知圖形中每邊有3+2+1=6 （條）線段，因此整個圖形中共
有6 5=30條線段。

    2. 37 將 A1A6A12分解成以O(shè)A6 為公共邊的兩個三角形。 OA1A6中共有5+4+3+2+1=15
（個）三角形， OA6A12 中共有6+5+4+3+2 +1=21 （個）三角形，這樣，圖中共
有15+21+1=37（個）三角形。

    3. 15 這樣的問題應(yīng)該通過分類計數(shù)求解。此題中的三角形可先分成含頂點
C 的和不含頂點C 的兩大類。含頂點C 的又可分成另外兩頂點在線段AB上的和在
線段BD上的兩小類。分類圖解如下：

    所以原圖有（3+2+1 ）+ （3+2+1 ）+3 =15（個）三角形。

    4. 18 梯形一共有三行，每行都有3+2+1=6 （個），所以一共有6 3=18（個）

    梯形。

    5. 108，36（1 ）因為長方形是由長和寬組成的，因此可分別考慮所有長方
形的長和寬的可能種數(shù)。按照前面所介紹的線段的計數(shù)方法可分別求出長和寬的
線段條數(shù)，將它們相乘就是所有長方形的個數(shù)。

    因為AB邊上有8+7+6+…+2+1= =36 條線段，AD邊上有2+1=3 條線段，所以圖
中一共有36 3=108個長方形。

    （2 ）三角形一共有6 行，每行都有3+2+1=6 （個），所以一共有6 6=36
（個）三角形。

    6. 30 由例5 注可知整個圖形中共有12+22+32+42=30個正方形。

    7. 50 此類問題一般用分類方法計數(shù)。對正方形的邊長分八類計數(shù)如下：邊
長為AB的正方形有16個；邊長為AC的正方形有9 個；邊長為AD的正方形有4 個；
邊長為AE的正方形有1 個；邊長為DF的正方形有9 個；邊長為CF的正方形有8 個
；邊長為BF的正方形有2 個；邊長為CG的正方形有1 個。

    所以，最多可圍出50個正方形。

    8. 44 因為正方形是特殊的長方形，所以可以把正方形看成長方形，這樣就
不必分別求正方形和長方形的個數(shù)，仍用分類計數(shù)的方法求解。

    先考慮有一組對邊平行于BC的長方形有多少個。這一類按其水平邊的位置可
分為6 小類，即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC. 同樣，其豎直邊也分為6 類。

    所以這一類有6 6=36個長方形。

    另一類是沒有邊平行于BC的。這一類又分類兩小類，分解圖如下頁圖所示，
其中分別有6 個和2 個長方形。

    所以，一共可套出正方形和長方形36+6+2=44 個。

    9. 21 以正方形的面積大小分類計數(shù)。

    設(shè)相鄰兩點的距離為1 ，則正方形面積為1 的有9 個；面積為2 的有4 個；
面積為5 的有2 個；面積為8 的有4 個；面積為13的有2 個；所以，共有9+4+2+4+2=21
個正方形。

    10. 30將原立體圖形從左至右分類計算，共有11+7+5+7=30 個。

    11. 白色小三角形個數(shù)=1+2+3+ …+6= =21 ，黑色小三角形個數(shù)=1+2+3+ …

    +7= =28 ，所以它們的比= = . 12. 解法一本圖中三角形的個數(shù)為（1+2+3+4 ）

    4=40（個）。下面求梯形的個數(shù)。梯形由兩底唯一確定。首先在AB，CD，EF，
MN中，考慮兩底所在的線段，共有（4 3 ） 2=6（種）選法；對上述四條線段中
確定的兩條線段，共有10（10=4+3+2+1）個梯形。共60個梯形。故所求差為20.
解法二在圖中可數(shù)出4 個三角形，6 個梯形，梯形比三角圖形圖形多2 個。而在
題圖中，這種恰有10個。故題圖中，梯形個數(shù)與三角形的個數(shù)之差為2 10=20
（個）。

    13. 邊長2 厘米的正方形：2 2=4 （個）……紅色邊長4 厘米的正方形（4-1）

    4=12（個）……紅色（4-2 ）（4-2 ）=4（個）……白色邊長8 厘米的正方
形（8-1 ） 4=28 （個）……紅色（8-2 ）（8-2 ）=36 （個）……白色邊長9
厘米的正方形（9-1 ） 4=32 （個）……紅色（9-2 ）（9-2 ）=49 （個）……
白色所以，紅色小正方形共有4+12+28+32=76 （個）

    白色小正方形共有4+36+49=89（個）

    [ 注] 本題的要求是由邊長為1 厘米的紅色和白色兩種正方形，分別組成邊
長是2 厘米，4 厘米，8 厘米，9 厘米的大小不同的正方形，可以看作方陣問題
來解。四周的小正方形是涂紅色的，可看成是空心方陣，因此，涂紅色正方形的
個數(shù)等于4 （n-1 ）。其他小正方形是涂白色的，可當作實心方陣，所以，涂白
色的正方形的個數(shù)等于（n-2 ）（n-2 ）。比如，由邊長為1 厘米的正方形組成
邊長為9 厘米的正方形，涂紅色的小正方形的個數(shù)是：4 （9-1 ）=32 （個），
涂白色的小正方形的個數(shù)是：（9-2 ）（9-2 ）=49 （個）。

    14. 將平行四邊形分為三類：①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；
③尖角在左上、右下方。

    就第①類而言：型6 個；型3 個，與其對稱的3 個；型1 個，與其對稱的1
個；型1 個；共15個。同理，第②、③類也分別含15個，故上述三類平行四邊形
共45個。

    [ 注] 這樣數(shù)平行四邊行，很麻煩，又易出錯。我們試圖找到一種對應(yīng)關(guān)系
：先考慮任一邊不與BC平行的平行四邊形，延長各邊必與BC有4 個交點，特殊情
況下，第二個交點與第三個交點重合；反過來，BC上的任意四點或三點決定一個
平行四邊形，也就是說，邊不與BC平行的平行四邊形的個數(shù)與BC上的四交點組和
三交點組的數(shù)目一樣多。

    由于BC上有5 個交點，其中可構(gòu)成5 個4 點組；10個3 點組，即邊不平行于
BC的平行四邊形有15個。

    同理分別考慮邊不平行AB、CD的平行四邊行。

    由此可知，共有45個平行四邊形。