21. 截尾質(zhì)數(shù)

    研究過程其實非常有趣。在利用樹形圖尋找質(zhì)數(shù)時，很快就可以發(fā)現(xiàn)，除了
只能作為起點的2 之外，不可能再有其他的偶數(shù)。同理，5 只能作為起點。此外，
當以2 開始時，下一個數(shù)只能是3 或9 ，因為1 或7 將使該數(shù)能被3 整除。以2
開始的完整質(zhì)數(shù)樹形圖如下圖所示，此種質(zhì)數(shù)共有24個。

    以下是將其余的此種質(zhì)數(shù)對應至每一分枝終點的數(shù)所做的摘要：

    31193 ，31379 ，317 ，37337999，373393，37397 ，3793，

    3797

    53，59393339，593993，599

    719333，7331，73331 ，73939133，7393931 ，7393933 ，

    739397，739399，797

    這個活動與左質(zhì)數(shù)（left－h(huán)anded prime）有關(guān)。不過，你也可以做右質(zhì)數(shù)
（right －h(huán)anded prime）的研究，例如12647 ，在由左向右截尾時仍為質(zhì)數(shù)；
或是做雙側(cè)質(zhì)數(shù)（two －sided prime ）的研究，例如317 或739397.

    22. 生日巧合

    如果不考慮生日巧合的概率，而考慮沒有人生日相同的概率，會比較容易。

    首先考慮A 與B 兩人生日不同的概率。例如假設(shè)A 的生日是在3 月25日，則
B 的生日可能是一年中其他364 天中的一天，所以A 與B 生日不同的概率為364/365.
現(xiàn)在考慮第三個人C.C 的生日與A 、B 不同，則一年中還有363 天可能是C 的生
日，所以C 與A 、B 生日不同的概率為363/365.

    故A 、B 、C 的生日都不相同的概率為：

    將此論證繼續(xù)沿用至第四人D ，就得出他們生日都不同的概率為：

    同理，在一個有30名學生的班級中，各人生日都不同的概率為：

    耐心地使用計算器就可以算出這個值大約是0.294 ，所以在有30名學生的班
級中，至少有兩人生日相同的概率是：

    1 －0.294 ≈0.7

    順便說一句，用上述的論證方式可以證明當一個班級有23個學生時，有兩人
生日相同的概率要比學生數(shù)為偶數(shù)時高。

    23. 認識正八面體

    實際做出本題中提到的模型能大大加強學習的效果，因為再怎么仔細閱讀文
字或看圖片說明，也比不上利用模型所得到的經(jīng)驗來得直接。

    由八面體的一個頂點出發(fā)，每邊只經(jīng)過一次而回到原點的路徑有1488種。

    你能找到多少種？

    如果你將八面體的邊作拓撲變換（topological transformation）形成如圖
1 的形式，可幫助你思考所有的路徑。

    另有一種做出正八面體的方法，即按照如圖2 所示的由等邊三角形組成的展
開圖，用紙或卡片制作。將所有的折線刻出印痕，然后將這兩邊的三角形折疊，
先把A 折至B.要記得八面體的每一個頂點都有4 個三角形，所以這個圖應該不難
折。最后，將畫斜線的三角形折進去，你就有了一個堅固的模型，而且可以展開
恢復原狀。

    24. 郵票冊研究

    （1 ）英國郵政總局1985年的設(shè)計如圖1 所示，包含3 張13p 、2 張4p與3
張1p的郵票。這種設(shè)計非常簡單，很容易就能

    找到國內(nèi)郵件（13p 與17p ）所需的郵票，而且除了200g限時信的38p 之外，
其他郵費也都能找到。

    可能的解其實有許多種，都可由郵票冊中挑選出所有的郵費。圖2 和圖3 是
其中的兩種。第二種有一個優(yōu)點，就是當平信的郵費降至12p 時也可以使用；事
實上，還可以寄4 封郵費為12p 的信件（見圖3 ）。

    這種問題可使同學們將算術(shù)運用到實際生活中去。

    （2 ）不可能的郵費為18p.7p、9p與2p的郵票面值總和為18p ，但在郵票冊
上彼此并沒有相連。組成其郵費的方式如下：

    1p＝1 17p ＝1+7 ＋9

    2p＝2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 18p

    3p＝3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　19p ＝7+9+3

    4p＝1 ＋3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 20p＝7 ＋9 ＋
3 ＋1

    5p＝3 ＋2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21p ＝9 ＋10
＋2

    6p＝1+3 ＋2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 22p＝3 ＋9 ＋
10

    7p＝7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　23p ＝1+3+9+10

    8p＝1 ＋7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 24p＝3 ＋9 ＋
10＋2

    9p＝9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　25p ＝1 ＋3 ＋
2 ＋9 ＋10

    10p ＝10　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　26p ＝7 ＋9 ＋
10

    11p ＝7 ＋1 ＋3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　27p ＝1+7
＋9 ＋10

    12p ＝3 ＋9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 28p＝7 ＋9
＋10＋2

    13p ＝9 ＋3 ＋1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　29p ＝1 ＋
7 ＋9 ＋10＋2

    14p ＝9 ＋3+2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　30p ＝1 ＋3
＋7 ＋9 ＋10

    15p ＝1 ＋3 ＋2 ＋9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　31p ＝3 ＋
2 ＋7 ＋9 ＋10

    16p ＝7 ＋9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　32p ＝1 ＋3
＋2 ＋7 ＋9 ＋10

    本題能幫助學生熟悉數(shù)字之間的基本關(guān)系，培養(yǎng)空間感，學生必須做出假設(shè)
并進行檢驗。問題是要找出N 的極限值，有一種方法是找出從2 ×3 的郵票中撕
取一張郵票或一組相連的郵票到底有多少方式。從這一點又可引申出更一般化的
空間問題。從m ×n 的郵票中撕取一張郵票或一組相連的郵票共有多少方式？

    撕取郵票的方式共有40種，所以這也是N 的上限。但由于題目的限制，使得
N 的最大值是36. 如圖4 所示的兩種方式是其解。檢驗兩者是否自1p至36p 都可
以得到。

    在研究此問題時可以考慮相加的和（如12＝4 ＋6 ＋2 ），或是在撕去郵票
后留下的面值（如28＝36－8 ，故28＝1 ＋2 ＋15＋4 ＋6 ）。

    有一種著手解決這種問題的方法是從較小聯(lián)的郵票開始。對2 ×2 聯(lián)的郵票
而言，撕去一張郵票或一組相連郵票的方式共有13種，如圖5 所示的兩種解答可
以得到郵費為1p至13p 的郵票。

    對5 張郵票的情況，撕去郵票的方式共有21種，但所得的郵費只有1p至20p.

    25. 設(shè)計直尺

    5 道切口得出的10種間隔為：

    以此種計數(shù)方式可以很清楚地看出其通式。n 次鋸切可得：

    1 ＋2 ＋3 ＋4 ＋…＋（n －1 ）種間隔

    當5 次鋸切的位置如上圖所示時，即ab＝1cm ，bc＝3cm ，cd＝3cm ，de＝
2cm ，則ac＝4cm ，ce＝5cm ，bd＝6cm ，ad＝7cm ，be＝8cm ，ae＝9cm.如果
沒有遺漏掉任何長度，那么這就是最佳的鋸切方式。

    如果我們并不要求得到連續(xù)的長度，那么也可能得出10種不同長度的間隔。

    例如，如果ab＝1 ，bc＝6 ，cd＝3 ，de＝2 ，則即可得出下列的10種間隔
：

    1 ，2 ，3 ，5 ，6 ，7 ，9 ，10，11，12

    但是在試著得出有連續(xù)長度的間隔時，要看出是否具有一般性的通式并不容
易。如果做n 次鋸切，且N 為連續(xù)長度的間隔數(shù)，則以1cm 起始，所得出的最佳
解如下。