26. 一招三式

    考慮第一個游戲。由1 至9 ，總數(shù)為15的3 個數(shù)的組合共有8 種，也許你已
經(jīng)想到它與標準的3 ×3 幻方的關系（圖1 ）。

    事實上，幻方中行、列與對角線的各組數(shù)字不但是所有可能的致勝組合，同
時也顯示出與圈叉（井字）游戲的關聯(lián)（圖2 ）。

    每一種致勝的組合都可對應于圈又游戲中致勝的線，所以運用此種策略將使
你在數(shù)字游戲中掌握更多的機會。玩圈叉游戲時，先玩的人通常會把記號畫在中
央的方格內(nèi)，因為這個位置所控制的直線比其他任何位置都要多。

    同樣地，玩數(shù)字游戲時，先玩的人通常選5 ，因為致勝的機會較大。

    利用這種與幻方的關聯(lián)性，你也可以研究其他的數(shù)字組合問題。以下列出其
中4 種（圖3 ～圖6 ），可參見《數(shù)學樂園。茅塞頓開》中的第142 題。也可嘗
試一下負數(shù)！

    你現(xiàn)在應該能從第二個游戲中看出個所以然了。

    這些單詞都是經(jīng)過精挑細選的，以使其能配合3 ×3 陣列，而在各行、列或
對角線上的單詞中，都包含著其他地方并不出現(xiàn)的共同字母。所以，單詞的致勝
組合同樣對應至圈叉游戲中致勝的線。MEAT為關鍵詞，且有4 種贏的組合；位于
角落的SARAH 、BRED、EELS與BALL為次重要的詞，各有3 種致勝組合；其余4 個
詞較不重要，只在2 種組合中出現(xiàn)（見圖7 ）。了解了這些，這個游戲就可以類
似圈叉游戲的方式玩了。

    這個游戲其實是由加拿大數(shù)學家莫瑟（Lee Moser ）設計的，稱為“HOT ”，
這是他在游戲中所用的一個詞。

    要求能力較強的一組兒童自行設計具有相同性質(zhì)的9 個單詞，這是一個具有
相當教育意義的題目。

    不過也不一定要限于文字。一般，只需要8 種足以區(qū)別的符號即可，每種符
號對應于每一行、每一列，以及對角線。用如此9 張卡片就可以設計出將這些符
號置于方格中的形式，參見圖8 所示。

    如果你頗具有藝術天份，那么這些符號也可以是某種圖案。不過無論如何，
這些游戲基本上都是一種圈叉游戲。

    現(xiàn)在討論第三種游戲。當你了解到車道的編號是從1 到9 ，與第一個游戲相
符時，這些車道編號就特別有用�？紤]5 號車道，將其著色，即可連接A 、B 、
C 與D4個城鎮(zhèn)。仔細看地圖，可以看出每個城鎮(zhèn)都剛好有3 條車道相交（或經(jīng)過），
所以控制5 號車道的人就能避免對手將這4 個城鎮(zhèn)中任何一個的3 條車道著色。

    這就等于是在圈叉游戲中，在中央的方格內(nèi)畫上記號即阻擋了4 條線的情形。
同理，連接3 個城鎮(zhèn)的2 、8 、4 及6 號車道，相當于圈叉游戲中的4 個角落，
而1 、3 、7 與9 號車道只連接兩個城鎮(zhèn)，則相當于“井”字四邊中間的方格。

    圈叉游戲的“井”字與塞車游戲的地圖之間的對偶性，可通過圖9 和圖10做
比較。圖9 相當于“井”字（每一個結(jié)點對應于各方格的中點），因此共有8 條
線通過9 點，而每一條線上有3 點。圖10則是塞車地圖的拓撲圖形，共有8 點，
位于9 條線上，且每一點都有3 條線通過。兩個圖形都做了精確的標示，以顯示
兩者的對應關系。例如，s 線上的A 、D 與G 點即對應于通過S 點的a 、d 與g
線。

    數(shù)學的本質(zhì)就是要在看似完全不同的狀況中探究潛在的結(jié)構而解析出相似的
部分，因此分析這些游戲有助于培養(yǎng)數(shù)學的思考能力。

    27. 勾股定理再探

    大部分的中學教師都熟知不只一種勾股定理的證明方法，但他們或許并不知
道還有許多有趣又巧妙的方法與步驟。本題所介紹的方法當然不是所有的方法，
但它們卻都意味深長。

    盧米斯（Elisha Scott Loomis ）所著的《勾股定理證明》（ThePythagorean
Proposition ）一書在1927年出版，書中共提出250 種證明方法，該書由英國全
國教師協(xié)會于1968年再版。

    28. 馬爾他十字機制

    作者做的模型已流行多年，不難理解，模型愈大，愈容易制作。

    在作者的模型中，圓盤D 的直徑大約為14cm，且機械裝置被安裝在硬板上。

    在第15題中可以看到一些其他的機械裝置。

    29. 旋轉(zhuǎn)式泵的幾何學

    對許多小孩子而言，機械裝置的研究比抽象的運動幾何學更具體直觀，但其
實兩者是互相關聯(lián)的。

    30. 月歷的排列

    本題目可用來練習算術、圖案識別與簡單代數(shù)。

    當總和為57時，所表示的日期為：

    如果有5 個日期在一列中，其正中央的數(shù)字為D ，則這5 個日期分別為

    D －14，D －7 ，D ， D＋7 ，D ＋14

    其總和為5D. 所以只要把總和除以5 ，然后再加減7 、加減14即可。

    當總和為85時，D ＝17，故對應于月歷上的最后一列。

    如果一列中的第一個數(shù)字是6 ，則第五個數(shù)字為6 ＋7 ＋7 ＋7 ＋7 ＝34，
但一個月不可能有34天。

    假設在一個含有4 個日期的列中第一個數(shù)字為F ，則這4 個日期分別為：

    F ，F(xiàn) ＋7 ，F(xiàn) ＋14，F(xiàn) ＋21

    故其總和為：

    T ＝4F＋42

    所以只要先將總和減去42，然后除以4 ，就可得到F ，再將F 分別加上7 、
14、21，即可得出其余的日期。

    十字形與H 形的日期形式為：

    這兩個圖形內(nèi)的日期總和分別為5C與7C，所以若已給定日期總和，很容易就
能得出C ，然后再推算出其他的日期。

    所以此方陣對角線上數(shù)字的乘積分別為：

    D （D ＋8 ）=D2 ＋8D，（D ＋7 ）（D ＋1 ）＝D2＋8D＋7

    很顯然，兩者之間的差為7.此種結(jié)論可通過適當?shù)幕顒釉O計，讓孩子自己去
發(fā)現(xiàn)。

    在3 ×3 方陣中，對角線的數(shù)字和、中間行與中間列的數(shù)字和皆為3C，其中
C 為正中央的數(shù)字。此方陣并非幻方，因為其他行、列的和各不相同，它們是：

    3C－21，3C－3 ，3C＋3 ，3C＋21