一、 利用“巧算法”

    1.湊整法

    湊整法一般包括以下三種：

    加/減湊整法，通過交換運(yùn)算次序，把可以通過加/減得到較整的數(shù)先進(jìn)行運(yùn)算的方法。

    乘/除湊整法，通過交換運(yùn)算次序，把可以通過乘/除法得到較整的數(shù)先進(jìn)行運(yùn)算的方法。

    參照湊整法，將一個(gè)數(shù)看成與之接近的另外一個(gè)較整的數(shù)來計(jì)算，然后進(jìn)行修正的方法。

    湊整法不僅僅是一種“運(yùn)算方法”，更重要的是一種“運(yùn)算思想”，需要考生靈活應(yīng)用并學(xué)會(huì)拓展。

    例題1.

    12.5×0.76×0.4×8×2.5的值是（ ）。

    A.7.6 B.8

    C.76 D.80

    「解析」本題采用乘數(shù)湊整法。0.4×2.5＝1，8×12.5＝100，則原式＝100×0.76＝76.故選C.

    例題2.

    3×999＋8×99＋4×9＋8＋7的值是（ ）。

    A.3 840 B.3 855

    C.3 866 D.3 877

    「解析」本題采用整數(shù)湊整法。此題可變形為3×（999＋1）－3＋8×（99＋1）－8＋4×（9＋1）－4＋8＋7，抵消后為3 000＋800＋40＝3 840.故選A.

    例題3.

    求4.18＋1.72＋0.82＋0.28的值。（ ）

    A.7 B.8

    C.9 D.10

    「解析」這是道小數(shù)湊整題，原式＝（4.18＋0.82）＋（1.72＋0.28），可先將4.18＋0.82＝5與1.72＋0.28＝2心算出來，然后再將5＋2＝7心算出來。故選A.

    例題4.

    求1999＋199＋19的值。（ ）

    A.2 220 B.2 218

    C.2 217 D.2 216

    「解析」這是道整數(shù)湊整題。可將各項(xiàng)加1，使算式變成2 000＋200＋20＝2 220，再減去3后得到正確答案，即2 220－3＝2 217.故選C.

    2.觀察尾數(shù)法

    觀察尾數(shù)法是解答算式選擇題的一個(gè)重要方法，即當(dāng)四個(gè)答案的尾數(shù)都不相同時(shí)，可采用觀察尾數(shù)法，最后選擇出正確答案。自然數(shù)n次方的尾數(shù)變化情況如下：

    2n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，即21，25，29…24n＋1的尾數(shù)都是相同的

    3n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為3，9，7，1，…

    4n的尾數(shù)是以“2”為周期變化的，分別為4，6，…

    5n和6n的尾數(shù)不變

    7n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為7，9，3，1，…

    8n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為8，4，2，6，…

    9n的尾數(shù)是以“2”為周期變化的，分別為9，1，…

    例題1.（2007年浙江省第11題）

    12007＋32007＋52007＋72007＋92007的值的個(gè)位數(shù)是（ ）。

    A.5 B.6

    C.8 D.9

    「解析」此題采用尾數(shù)法。12007尾數(shù)為1，32007的尾數(shù)與33相同為7，52007尾數(shù)為5，72007尾數(shù)與73相同為3，92007尾數(shù)與93相同為9，1＋7＋5＋3＋9＝25，即個(gè)位數(shù)為5.故選A.

    例題2.

    92006的個(gè)位數(shù)是（ ）。

    A.1 B.2

    C.8 D.9

    「解析」此題采用尾數(shù)法。考查9的次冪變化周期規(guī)律，這些知識(shí)要記憶。9的奇數(shù)次方尾數(shù)為9，偶數(shù)次方尾數(shù)為1.故選A.

    例題3.

    求12×13×14的值。（ ）

    A.2 183 B.2 188

    C.2 182 D.未給出

    「解析」此題采用觀察尾數(shù)法。將2×3×4＝24，但前三個(gè)選項(xiàng)皆錯(cuò)，所以是未給出正確答案，故只有選項(xiàng)D為正確選項(xiàng)。故選D.

    例題4.

    19991998的末位數(shù)字是（ ）。

    A.1 B.3

    C.7 D.9

    「解析」這是一道比較復(fù)雜的觀察尾數(shù)題。此題只需求91998的末位數(shù)字即可。9的奇數(shù)次方的末位數(shù)為9，9的偶數(shù)次方的末位數(shù)為1，正確答案是1.故選A.

    例題5.

    173×173×173－162×162×162＝（ ）。

    A.926 183 B.936 185

    C.926 187 D.926 189

    「解析」此題可用觀察尾數(shù)的方法。觀察四個(gè)選項(xiàng)可知不需計(jì)算出精確結(jié)果，只要能推知結(jié)果的個(gè)位數(shù)的值即可。173×173×173的值的個(gè)位數(shù)是7，而162×162×162的值的個(gè)位數(shù)是8，則兩者之差的值為9.故選D.

    例題6.

    （1.1）2＋（1.2）2＋（1.3）2＋（1.4）2的值是（ ）。

    A.5.04 B.5.49

    C.6.06 D.6.30

    「解析」各選項(xiàng)小數(shù)點(diǎn)后第二位數(shù)均不相同，只需考慮尾數(shù)即可知道答案。由各項(xiàng)平方后最末一位數(shù)相加，即1＋4＋9＋6＝20，可知尾數(shù)是0，正確答案是6.30.故選D.

    二、 利用公式法

    常見的數(shù)學(xué)公式有：

    第一類：乘法與因式分解

    a2－b2＝（a＋b）（a－b）；

    （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；

    （a－b）2＝a2－2ab＋b2；

    a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）；

    a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）；

    ba（a＋b）＝1a－1a＋b

    第二類：求和

    1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋…＋n＝n（n＋1）（n為自然數(shù)）；

    2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋…＋2n＝n（n＋1）（n為自然數(shù)）；

    1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋…＋（2n－1）＝n2（n為自然數(shù)）；

    12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）6（n為自然數(shù)）；

    13＋23＋33＋43＋53＋63＋…＋n3＝n2（n＋1）24（n為自然數(shù)）；

    1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋…＋n（n＋1）＝n（n＋1）（n＋2）3（n為自然數(shù)）；

    等差數(shù)列求和公式：Sn＝na1＋n（n－1）2×d＝n（a1＋an）2（n為自然數(shù)）；

    等比數(shù)列求和公式：Sn＝na1（q＝1）（n為自然數(shù)）；

    Sn＝a1（1－qn）1－q（q≠1，an≠0）（n為自然數(shù)）。

    例題1.

    12－22＋32－42＋52－62＋……＋92－102＝（ ）。

    A.－55 B.－45

    C.45 D.55

    「解析」本題考查平方差公式的運(yùn)用。原式＝（1＋2）（1－2）＋（3＋4）（3－4）＋……＋（9＋10）（9－10）＝－（3＋7＋11…＋19）＝－（3＋19）×52＝－55.故選A.

    例題2.

    12＋34＋78＋1516＋…（2100－1）2100＝（ ）。

    A.99 B.98.8

    C.97.6 D.95

    「解析」本題可用等比數(shù)列求和公式，

    原式＝1－12＋1－14＋1－18＋…＋1－12100

    ＝100－12＋14＋18＋…＋12100

    ＝100－12×1－121001－12

    ≈99

    故選A.

    例題3.

    782＋222＋2×78×22的值是（ ）。

    A.10 000 B.1 000

    C.1 500 D.20 000

    「解析」本題可用公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，原式＝（78＋22）2＝10 000.故選A.

    例題4.

    求1＋2＋3…98＋99＋100的和。（ ）

    A.5 030 B.5 040

    C.5 050 D.5 060

    「解析」該題利用求等差數(shù)列之和的公式。和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）÷2×項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1.根據(jù)該公式，此題的項(xiàng)數(shù)是（100－1）÷1＋1＝99＋1＝100，該數(shù)列之和＝（1＋100）÷2×100＝5 050.故選C.

    三、因式分解法

    因式分解是進(jìn)行復(fù)雜四則運(yùn)算的基本方法，而公因數(shù)的選擇問題則是因式分解的關(guān)鍵。因式分解法以數(shù)字構(gòu)造具有一定規(guī)律和特點(diǎn)為基礎(chǔ)（即數(shù)字可以變換成因式相乘的形式），在進(jìn)行“大數(shù)”的四則運(yùn)算時(shí)要有“因式分解的意識(shí)”。

    例題1.

    2 004×（2.3×47＋2.4）÷（2.4×47－2.3）的值為（ ）。

    A.2 003 B.2 004

    C.2 005 D.2 006

    「解析」此題考查對(duì)數(shù)字敏感度。利用因式分解原式可變形為原式＝2 004×（2.3×47＋2.4）÷（2.3×47＋4.7－2.3）＝2 004×（2.3×47＋2.4）÷（2.3×47＋2.4）＝2 004.故選B.

    例題2.

    1 235×6 788與1 234×6 789的差值是（ ）。

    A.5 444 B.5 454

    C.5 544 D.5 554

    「解析」此題利用因式分解。即 ab＋ac＝a（b＋c）。原式＝1 235×6 788－1 234×6 788－1 234＝6 788×（1 235－1 234）－1 234＝6 788－1 234＝5 554.故選D.

    例題3.

    求12×35＋12×45的值。（ ）

    A.955 B.960

    C.965 D.970

    「解析」此題利用因式分解。即ab＋ac＝a（b＋c）。根據(jù)該公式，12×（35＋45）＝12×80＝960.故選B.

    例題4.

    如果Q＝3×5×8×242，則下列哪一項(xiàng)可能是整數(shù)？（ ）

    A.45Q30 B.97Q31

    C.125Q34 D.167Q47

    「解析」此題是道因式分解題。所使用的解題方法是，將分母分解為被Q的因數(shù)所包含之?dāng)?shù)，抵消之后分母變成1了，該數(shù)當(dāng)然就是整數(shù)了。請(qǐng)注意，此類題千萬不要計(jì)算其實(shí)際值，只要將分子、分母約分，使分母為1.根據(jù)該原理，此題的四個(gè)選項(xiàng)，B、C、D三選項(xiàng)的分母不能分解成與分子Q完全抵消或約分的因式。只有A選項(xiàng)的分母30可分解為3×5×2，與分子中的3×5抵消，而2與分子中的8約分后8變成4，而分母中的2變成1了，這樣整個(gè)分母就變成1了。故選A.