回文數(shù)

    這種數(shù)類似25 452，從前往后讀與從后往前讀皆相同，所以稱為回文數(shù)（palindromic
numbers ）。

    不要將一位數(shù)包括在內(nèi)，最小的回文質(zhì)數(shù)與最小的回文平方數(shù)是多少？其他
還有多少小于1000的回文平方數(shù)？

    在100 與200 之間有5 個(gè)回文質(zhì)數(shù)，它們是多少？在400 與700 之間為何沒
有回文質(zhì)數(shù)？試證明在1 000 與2 000 之間的所有回文數(shù)有公因數(shù)。

    過剩數(shù)、完全數(shù)與虧損數(shù)

    考慮8 這個(gè)數(shù)。其因數(shù)除8 外，還有1 、2 、4 ，其和為7 ，小于8.因此之
故，希臘數(shù)學(xué)家將8 歸類為過剩數(shù)（excessive number）。再如18這個(gè)數(shù)，其因
數(shù)為1 、2 、3 、6 、9 ，和為21，所以是一種虧損數(shù)（defective number）。

    有些數(shù)具有非常特殊的性質(zhì)，能等于其因數(shù)之和。例如6 ，其因數(shù)為1 、 2、
3.希臘人將這些數(shù)稱為完全數(shù)（perfect num-ber ）。

    （1 ）將小于30的數(shù)以這3 種性質(zhì)分類。

    （2 ）完全數(shù)相當(dāng)少，且間隔很遠(yuǎn)。歐幾里德證明當(dāng)2n-1為質(zhì)數(shù)時(shí)，任何形
式為

    2n-1（2n-1）

    的數(shù)皆為完全數(shù)。

    試找出使2n-1為質(zhì)數(shù)的n 值，以找到更多的完全數(shù)。

    互滿數(shù)

    有一些成對(duì)的數(shù)具有相當(dāng)奇妙的關(guān)聯(lián)性，也就是其中一個(gè)數(shù)的因數(shù)和會(huì)等于
另一個(gè)數(shù)。因這種兩數(shù)之間存在“互利共生”的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)家將它們命名為互滿
數(shù)（amicable pairs）。

    最小的一對(duì)互滿數(shù)為220 與284.

    220 ：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

    284 ：1+2+4+71+142=220

    歐拉在研究過這種數(shù)之后，在1750年給出了60對(duì)互滿數(shù)。但令人驚訝的是，
他漏掉了第二小的一對(duì)，即1 184 與1 210.直到1866年，才由一位16歲少年帕格
尼尼（Paganini）發(fā)現(xiàn)了它們。試找出1 184 與1 210 的因數(shù)，并檢驗(yàn)其密切的
關(guān)聯(lián)性。