（依據(jù)：《孫子問(wèn)題》；編詩(shī)：陳鋼）

    有物不知數(shù)，讓我數(shù)一數(shù)；

    三個(gè)三個(gè)數(shù)，剩二好孤獨(dú)；

    五五數(shù)剩三，七七又二單；

    此物多少數(shù)，誰(shuí)能說(shuō)清楚？

    「解說(shuō)」這是依據(jù)《孫子算經(jīng)》上有名的“孫子問(wèn)題”（又稱(chēng)“物不知數(shù)題”）
編寫(xiě)而成的。原來(lái)的題目是：

    “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問(wèn)物幾
何？”

    用通俗的話來(lái)說(shuō)，題目的意思就是

    有一些物品，不知道有多少個(gè)，只知道將它們?nèi)齻�(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，會(huì)剩下2 個(gè)；
五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，會(huì)剩下3 個(gè)；七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)，也會(huì)剩下2 個(gè)。這些物品的數(shù)量至
少是多少個(gè)？

    （注：詩(shī)題及題目原文都無(wú)“至少”二字，但“孫子問(wèn)題”都是些求“最少”
或者求“至少”的問(wèn)題，否則就會(huì)有無(wú)數(shù)多個(gè)答案。所以，解釋題目意思時(shí)，在
語(yǔ)句中加上了“至少”二字。）

    《孫子算經(jīng)》解這道題目的“術(shù)文”和答案是：

    “三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，
置三十。并之，得二百三十三，以二百十減之，即得。”“答曰：二十三。”

    這些話是什么意思呢？用通俗的話來(lái)說(shuō)，就是：

    先求被3 除余2 ，并能同時(shí)被5 、7 整除的數(shù)，這樣的數(shù)最小是140 ；

    再求被5 除余3 ，并能同時(shí)被3 、7 整除的數(shù)，這樣的數(shù)最小是63；

    然后求被7 除余2 ，并能同時(shí)被3 、5 整除的數(shù)，這樣的數(shù)最小是30.

    于是，由140 ＋63＋30=233，得到的233 就是一個(gè)所要求得的數(shù)。但這個(gè)數(shù)
并不是最小的。

    再用求得的“233 ”減去或者加上3 、5 、7 的最小公倍數(shù)“105 ”的倍數(shù)，
就得到許許多多這樣的數(shù)：

    ｛23，128 ，233 ，338 ，443 ，…｝

    從而可知，23、128 、233 、338 、443 、…都是這一道題目的解，而其中
最小的解是23.

    答：這些物品的數(shù)目至少是23個(gè)。

    需要指出的是，在《孫子算經(jīng)》上，有一段關(guān)于這類(lèi)題目的解題“術(shù)文”：

    “凡三三數(shù)之剩一則置七十，五五數(shù)之剩一則置二十一，七七數(shù)之剩一則置
十五，一百六以上以一百五減之，即得。”

    （注：古稱(chēng)“106 ”和“105 ”為“一百六”和“一百五”，而稱(chēng)“160 ”
和“150 ”為“一百六十”和“一百五十”。所以，這里的“一百六”和“一百
五”分別指“106 ”和“105 ”，而不是“160 ”和“150 ”。）

    明代著名的大數(shù)學(xué)家程大位，在他所著的《算法統(tǒng)宗》中，對(duì)于這種解一般
“孫子問(wèn)題”的方法，還編出了四句歌訣，名曰《孫子歌》：

    三人同行七十稀，

    五樹(shù)梅花廿一枝；

    七子團(tuán)圓正半月，

    除百零五便得知。

    歌中的“廿”，讀音與“念”音相同。“廿”即二十的意思。

    這一歌訣的“詩(shī)意”，我們可以不去理會(huì)，只需注意它的數(shù)字就行了。歌訣
中的每一句話，都指出了一步解題方法：

    “三（3 ）人同行七十（70）稀”——是說(shuō)除以3 所得的余數(shù)，要用“70”
去乘它；

    “五（5 ）樹(shù)梅花廿一（21）枝”——是說(shuō)除以5 所得的余數(shù)，要用“21”
去乘它；

    “七（7 ）子團(tuán)圓正半月（15）”——“半月”是一個(gè)月30天的一半，即15
日，這是說(shuō)，除以 7所得的余數(shù)，要用“ 15 ”去乘它；

    “除百零五（105 ）便得知”——這是說(shuō)要把上面所乘得的三個(gè)數(shù)相加，加
得的和如果大于105 ，便應(yīng)減去105 ，或者減去105 的倍數(shù)。這也就是《孫子算
經(jīng)》上的“一百六（106 ）以上，以一百五（105 ）減之”。這樣得出的差，便
是所要求的這個(gè)最小的未知數(shù)了。

    運(yùn)用這一歌訣來(lái)解答這道“物不知數(shù)”問(wèn)題，便是

    2 ×70+3×21+2×15=140+63+30=233

    233-105-105=23（答略）

    不過(guò)，用這種方法解這類(lèi)問(wèn)題，有它的局限性，它只能解答用3 、5 、7 作
除數(shù)的題目，遇到用其他數(shù)作除數(shù)的算題，它就行不通了。這一點(diǎn)必須引起我們
的注意。

    這種“物不知數(shù)（孫子）問(wèn)題”，在我國(guó)古代流傳的算法名稱(chēng)很多。宋朝周
宓稱(chēng)它為“鬼谷算”、“隔墻算”（之所以稱(chēng)“鬼谷算”，大概是因?yàn)樗�與傳說(shuō)
中的哲學(xué)家鬼谷子有某些關(guān)系）；13世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家楊輝則稱(chēng)它為“剪管術(shù)”。
南宋數(shù)學(xué)家秦九韶將它推廣，并又發(fā)現(xiàn)一種算法，稱(chēng)它為“大衍求一術(shù)”。它被
傳入西方后，外國(guó)人又稱(chēng)它為“中國(guó)剩余定理”。但是大多數(shù)人較為通俗的叫法，
還是稱(chēng)它為“韓信點(diǎn)兵”（也有稱(chēng)“秦王暗點(diǎn)兵”的）。傳說(shuō)我國(guó)漢朝的大將韓
信，計(jì)算士兵數(shù)目的方法十分特別，他不是五個(gè)五個(gè)或十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，也不要士
兵“一、二、三、四、五……”地報(bào)數(shù)，而是叫他們排起隊(duì)伍，依次在他面前列
隊(duì)行進(jìn)：先是一排三人，再是一排五人，然后是一排七人。他只將三次所余的士
兵記下來(lái)，就知道了士兵的總數(shù)。他旁邊的人見(jiàn)他并沒(méi)有數(shù)士兵的數(shù)目，有時(shí)甚
至還閉上了眼睛，而居然知道士兵的總數(shù)，都感到十分驚奇。所以，后人就把這
種算法稱(chēng)為“韓信點(diǎn)兵”了。“韓信點(diǎn)兵問(wèn)題”在數(shù)學(xué)史上，是個(gè)極有名的問(wèn)題。
西洋人直到18世紀(jì)才被瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題的解題規(guī)律。只拿我國(guó)南宋
秦九韶的研究與他們相比，他們也晚了五百年左右的時(shí)間。

    「思考、練習(xí)」

    1.有一道用詩(shī)的形式表達(dá)的謎題（陳邦新整理）是：

    花生若干粒，三數(shù)即余一；

    五數(shù)無(wú)剩余，七數(shù)余三粒。

    你能猜出得數(shù)是多少粒嗎？（答案：10粒）

    2.有一道民間詩(shī)題如下（陳邦新整理）：

    秦皇暗點(diǎn)衛(wèi)隊(duì)兵，三三數(shù)來(lái)余二名；

    五數(shù)七數(shù)都余一，衛(wèi)隊(duì)共是多少人？

    請(qǐng)仿照上面的方法解出這道題目。（答案：71人）

    3.有總數(shù)不滿(mǎn)五十人的一隊(duì)士兵，“一至三報(bào)數(shù)”，最后一人報(bào)“一”：
“一至五報(bào)數(shù)”，最后一人報(bào)“二”：“一至七報(bào)數(shù)”，最后一人也報(bào)“二”。
這隊(duì)士兵有多少人？（答案：37人）

    4.用三輪小貨車(chē)運(yùn)一批糧食，每次運(yùn)7 袋，最后余下2

    袋；每次運(yùn)8 袋，最后余下3 袋；每次運(yùn)9 袋，最后余下1 袋。這批糧食至
少有多少袋？（答案：163 袋）

    5.有一個(gè)數(shù)，被5 除余2 ，被7 除余6 ，被11除余9.那么這個(gè)數(shù)最小是多少？
（答案：97）