一、基本概念和知識

    1.整除——約數和倍數

    例如：15÷3=5 ，63÷7=9

    一般地，如a 、b 、c 為整數，b ≠0 ，且a ÷b=c ，即整數a 除以整除b
（b 不等于0 ），除得的商c 正好是整數而沒有余數（或者說余數是0 ），我們
就說，a 能被b 整除（或者說b 能整除a ）。記作b ｜a.否則，稱為a 不能被b
整除，（或b 不能整除a ），記作ba.

    如果整數a 能被整數b 整除，a 就叫做b 的倍數，b 就叫做a 的約數。

    例如：在上面算式中，15是3 的倍數，3 是15的約數；63是7 的倍數，7 是
63的約數。

    2.數的整除性質

    性質1 ：如果a 、b 都能被c 整除，那么它們的和與差也能被c 整除。

    即：如果c ｜a ，c ｜b ，那么c ｜（a ±b ）。

    例如：如果2 ｜10，2 ｜6 ，那么2 ｜（10＋6 ），

    并且2 ｜（10—6 ）。

    性質2 ：如果b 與c 的積能整除a ，那么b 與c 都能整除a.即：如果bc｜a ，
那么b ｜a ，c ｜a.

    性質3 ：如果b 、c 都能整除a ，且b 和c 互質，那么b 與c 的積能整除a.

    即：如果b ｜a ，c ｜a ，且（b ，c ）=1，那么bc｜a.

    例如：如果2 ｜28，7 ｜28，且（2 ，7 ）=1，

    那么（2 ×7 ）｜28.

    性質4 ：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a.

    即：如果c ｜b ，b ｜a ，那么c ｜a.

    例如：如果3 ｜9 ，9 ｜27，那么3 ｜27.

    3.數的整除特征

    ①能被2 整除的數的特征：個位數字是0 、2 、4 、6 、8 的整數。“特征”

    包含兩方面的意義：一方面，個位數字是偶數（包括0 ）的整數，必能被2
整除；另一方面，能被2 整除的數，其個位數字只能是偶數（包括0 ）。下面
“特征”

    含義相似。

    ②能被5 整除的數的特征：個位是0 或5.

    ③能被3 （或9 ）整除的數的特征：各個數位數字之和能被3 （或9 ）整除。

    ④能被4 （或25）整除的數的特征：末兩位數能被4 （或25）整除。

    例如：1864=1800 ＋64，因為100 是4 與25的倍數，所以1800是4 與25的倍
數。又因為4 ｜64，所以1864能被4 整除。但因為2564，所以1864不能被25整除。

    ⑤能被8 （或125 ）整除的數的特征：末三位數能被8 （或125 ）整除。

    例如：29375 ＝29000 ＋375 ，因為1000是8 與125 的倍數，所以29000 是
8 與125 的倍數。又因為125 ｜375 ，所以29375 能被125 整除。但因為8375，
所以829375.

    ⑥能被11整除的數的特征：這個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數
字之和的差（大減�。┦�11的倍數。

    例如：判斷123456789 這九位數能否被11整除？

    解：這個數奇數位上的數字之和是9 ＋7 ＋5 ＋3 ＋1=25，偶數位上的數字
之和是8 ＋6 ＋4 ＋2 ＝20. 因為25—20＝5 ，又因為115 ，所以11123456789.

    再例如：判斷13574 是否是11的倍數？

    解：這個數的奇數位上數字之和與偶數位上數字和的差是：（4 ＋5 ＋1 ）

    - （7 ＋3 ）＝0.因為0 是任何整數的倍數，所以11｜0.因此13574 是11的
倍數。

    ⑦能被7 （11或13）整除的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的
數字所組成的數之差（以大減�。┠鼙�7 （11或13）整除。

    例如：判斷1059282 是否是7 的倍數？

    解：把1059282 分為1059和282 兩個數。因為1059-282＝777 ，又7 ｜777 ，
所以7 ｜1059282.因此1059282 是7 的倍數。

    再例如：判斷3546725 能否被13整除？

    解：把3546725 分為3546和725 兩個數。因為3546-725=2821.再把2821分為
2 和821 兩個數，因為821 —2 ＝819 ，又13｜819 ，所以13｜2821，進而13｜
3546725.