英國數(shù)學(xué)教育家貝克浩斯（Backhousl ）在研究“問題解決”時(shí)首先提到的
是中國古算題，其中包括雞兔同籠問題、100 個(gè)和尚買100 個(gè)饅頭問題等。解這
些問題需要想象，解者在其情景中有明確的且力所能及的目的，但缺少現(xiàn)成的方
法達(dá)到此目的，因此常常作為夜航船中或納涼賞月時(shí)的一種試智比知式考問的備
辦學(xué)問，一代一代傳下來，還傳到世界各地，雞兔問題傳到日本叫龜鶴問題。明
代作家張岱曾說：“天下學(xué)問，惟夜航船中最難對(duì)付”。又到納涼的季節(jié)，老公
公們要用這些問題來試試兒孫輩的學(xué)問怎樣？有位小朋友聽了老公公提出的問題，
覺得難度不大，便滿懷信心地對(duì)老公公說：慢點(diǎn)，讓我打開燈，拿紙和筆。老公
公講不用筆就不可以算嗎？這一下，許多小朋友都被難住了。顯然老公公解這些
難題的技巧肯定不同凡響，那么老公公是怎樣解這些問題的呢？我們先舉個(gè)例子
說說。

    一、雞兔同籠問題

    例1 籠中有若干只雞和兔，它們共有50個(gè)頭和140 只腳，問雞兔各有多少只？

    解法1 假設(shè)法

    假設(shè)一個(gè)未知數(shù)是已知的，比如假定50個(gè)頭全是兔，則共有腳（4 ×50= ）
200 （只），這與題中已知140 只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因
是雞當(dāng)兔后每只雞多算了2 只腳，所以雞的只數(shù)是（60÷2=）30（只），則兔的
只數(shù)為（50-30 ＝）20（只）。

    這種解法，思路清晰，但較復(fù)雜，不便操作。能不能形象地畫個(gè)圖呢？讓我
們?cè)囋嚒?/p>

    解法2 圖形法

    從圖中看ACDF的面積＝4 ×50＝200 （只腳），　　比實(shí)際多出　　GHEF的
面積＝200-140 ＝60（只腳），　　AB=GH=60÷2=30（只雞），　　BC=AC-AB=50-30
＝20（只兔）

    解法2 比解法1 高級(jí)，算理是一樣的。這里答案是圖上算出的，顯然這兩種
解法都要用紙和筆。不用紙和筆肯定是用口訣或易記的公式，這是老公公的傳家
寶。

    解法3 公式法

    老公公講：只要用哨子一吹，并喊一聲口令：“全體肅立”。這時(shí)每只雞呈
金雞獨(dú)立之狀，每只兔呈玉兔拜月狀，著地的腳數(shù)之和有（140 ÷2 ＝）70（只），
其中雞的頭數(shù)與腳數(shù)相等，由于每只兔的腳比頭數(shù)多1 ，因此兔的頭數(shù)為（70－
50＝）20（個(gè)），即兔有20只，則雞有（50－20＝）30（只）。這個(gè)故事實(shí)際上
老公公用了如下的公式。

    腳數(shù)和÷2-頭數(shù)和= 兔子數(shù)。

    小孫子們聽了興趣為之大增，紛紛叫老公公再出幾道題。老公公又出了

    （1 ）30個(gè)頭，80只腳……。（兔10，雞20）。

    （2 ）100 只腳，40個(gè)頭……。（兔10，雞30）。

    （3 ）80個(gè)頭，200 只腳……。（兔20，雞60）

    小孫子們個(gè)個(gè)都愉快地答出來了。

    這個(gè)公式簡潔好用，它是祖代傳下來的還是老公公想出來的呢？我們中華文
化博大精深，這兩種可能性都是有的。這個(gè)公式是碰巧做對(duì)還是符合算理的呢？
這是十分重要的。數(shù)學(xué)家高斯說過：“數(shù)學(xué)中許多方法與定理是靠歸納發(fā)現(xiàn)的，
證明只是補(bǔ)行的手續(xù)而已。”現(xiàn)在我們就來補(bǔ)行這個(gè)手續(xù)。

    2 雞頭= 雞腳。

    4 兔頭= 兔腳。

    得：兔腳+ 雞腳=2雞頭+4兔頭

    =2（雞頭+2兔頭）。

    這就證明了老公公歸納的公式。

    說到雞兔同籠問題，常常大家精神就緊張起來，以為是難題來了�，F(xiàn)在掌握
了規(guī)律其實(shí)不難，所以凡事都應(yīng)去摸索規(guī)律，照規(guī)律辦事。

    雞兔同籠問題在民間是當(dāng)故事講的，有沒有實(shí)際價(jià)值呢？我們?cè)賮砜聪旅娴?br /> 問題。

    二、郵票問題

    例2 買3 角與5 角的郵票共24張，總值4.6 元，問兩種郵票各買了幾張？

    解這道題當(dāng)然可以用假設(shè)法和圖形法，但用什么樣的公式呢？美國數(shù)學(xué)教育
家C ？波利亞說：“……不論初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)……特別是不能沒有
類比。”用類比很容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式是：郵

    設(shè)3 角郵票為A1張，價(jià)值A(chǔ)2角；

    5 角郵票為B1張，價(jià)值B2角。

    說明數(shù)量關(guān)系與雞兔同籠問題相一致。

    又3A1=A2，5B1=B2.

    得：A2＋B2＝3A1+5B1 ，

    這就與例1 的公式相類似，很容易將這個(gè)公式翻譯成語言陳述，大家試

    （24－12＝）12（張）。

    如果你認(rèn)為這個(gè)公式不太好記，就不妨用圖來解。

    （24×5 －96）÷2=12（張、3 角）

    24-12 ＝12

    所以解題方法的選用常常是根據(jù)具體情況而定的。

    再試試

    （1 ）6 角與8 角的郵票共18張，總價(jià)12.4元，問兩種郵票各幾張？（10，
8 ）

    （2 ）3 角與8 角的郵票共100 張，總價(jià)50元，問兩種郵票各幾張？（60，
40）

    三、植樹問題

    例3 一次植樹活動(dòng)，規(guī)定大樹每人種2 棵，小樹每人種4 棵，全班50人種樹
140 棵，問種這兩種樹的各有多少人？

    這道題可用例1 的公式很快解得種大樹的有30人，種小樹的有20人。

    四、運(yùn)輸（工作）問題

    例4 有小卡車50輛，大卡車每輛運(yùn)4 噸，小卡車每輛運(yùn)2 噸，共運(yùn)140 噸化
肥，問大小卡車各幾輛？

    難道不是題目看完答案就出來了嗎？

    五、農(nóng)藥問題

    例5 甲種農(nóng)藥每千克兌水20千克，乙種農(nóng)藥每千克兌水40千克，現(xiàn)為了提高
藥效，根據(jù)農(nóng)科所意見，甲乙兩種農(nóng)藥混合使用，已知兩種農(nóng)藥共50千克，要配
藥水140 千克，問甲、乙兩種農(nóng)藥各需多少千克？

    用公式解很簡單（30，20），如果將這個(gè)公式交給農(nóng)民，那么他們配起農(nóng)藥
來就既方便又正確，你能想出這個(gè)公式是什么嗎？

    還會(huì)遇到許多許多的問題，它們的數(shù)量關(guān)系（應(yīng)用題的本質(zhì)）與雞兔同籠問
題相一致，都可以用雞兔同籠問題的三種方法來解，這些問題我們將它們統(tǒng)稱為
雞兔同籠問題。

    相傳大禹治水到黃河，發(fā)現(xiàn)一只神龜，背上馱了一張圖叫河圖（洛書）。
（左圖），用阿拉伯?dāng)?shù)字表示就是右圖，圖中三條豎線、三條橫線、二條對(duì)角線
共八條線上三個(gè)數(shù)的和都是15，這樣的圖是怎樣造出來的呢？其法一時(shí)失傳了，
于是有人用它來占卜、相風(fēng)水，進(jìn)入迷信狀態(tài)。后來數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)其原理是二進(jìn)制，
說明二進(jìn)制是中國人最先發(fā)明的，近代根據(jù)二進(jìn)制發(fā)明了計(jì)算機(jī)，所以有些基礎(chǔ)
科學(xué)的研究成果一時(shí)看起來無多大用途，以后漸漸會(huì)發(fā)現(xiàn)有大用途，雞兔同籠問
題不也是這樣嗎？因此我們一定要重視基礎(chǔ)科學(xué)的學(xué)習(xí)和研究。