在一定范圍內(nèi)求最大值或最小值的問題，我們稱之為“最大最小問題”。

    “最大”、“最小”是同學(xué)們所熟悉的兩個概念，多年來各級數(shù)學(xué)競賽中屢
次出現(xiàn)求最值問題，但一些學(xué)生感到束手無策。

    一、枚舉法

    例1 一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)在有4 把鑰匙4 把鎖。但不知哪把鑰匙開哪
把鎖，最多要試多少次就能配好全部的鑰匙和鎖？

    （北京市第三屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽試題）

    分析與解開第一把鎖，按最壞情況考慮試了3 把還未成功，則第4 把不用試
了，它一定能打開這把鎖，因此需要3 次。同樣的道理開第二把鎖最多試2 次，
開第三把鎖最多試1 次，最后一把鎖則不用再試了。這樣最多要試的次數(shù)為：3
＋2 ＋1=6 （次）。

    二、綜合法

    例2 x3=84A（x 、A 均為自然數(shù)）。A 的最小值是______. （1997年南通市
數(shù)學(xué)通訊賽試題）

    分析與解根據(jù)題意，84A 開立方的結(jié)果應(yīng)為自然數(shù)，于是我們可以把84分解
質(zhì)因數(shù)，得84=2×2 ×3 ×7 ，因此x3=2×2 ×3 ×7 ×A ，其中A 的質(zhì)因數(shù)至
少含有一個2 、兩個3 、兩個7 ，才能滿足上述要求。

    即A 的最小值為（2 ×3 ×3 ×7 ×7=）882.

    三、分析法

    例3 一個三位數(shù)除以43，商是a ，余數(shù)是b ，（a 、b 均為自然數(shù)），a ＋
b 的最大值是多少？

    （廣州市五年級數(shù)學(xué)競賽試題）

    分析與解若要求a ＋b 的最大值，我們只要保證在符合題意之下，a 、b 盡
可能大。由乘除法關(guān)系得

    43a ＋b=一個三位數(shù)

    因為b 是余數(shù)，它必須比除數(shù)小，即b ＜43b 的最大值可取42.

    根據(jù)上面式子，考慮到a 不能超過23. （因為24×43＞1000，并不是一個三
位數(shù)）

    當(dāng)a=23時，43×23＋10=999，此時b 最大值為10.

    當(dāng)a=22時，43×22＋42=988，此時b 最大值為42.

    顯然，當(dāng)a=22，b=42時，a ＋b 的值最大，最值為22+42=64.

    四、公式法

    例4 兩個自然數(shù)的和為18，那么，這兩個自然數(shù)的積的最大值為多少？（廣
州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

    分析與解設(shè)兩個正數(shù)分別為a 、b ，它們有以下幾種關(guān)系，a ＋b ≥值，運(yùn)
用此公式，本題迎刃而解。

    即這兩個自然數(shù)的積的最大值為81.

    五、圖表法

    例5 某公共汽車從起點(diǎn)站開往終點(diǎn)站，中途共有9 個停車站。如果這輛公共
汽車從起點(diǎn)站開出，除終點(diǎn)站外，每一站上車的乘客中從這一站到以后的每一站
正好各有一位乘客上下車。為了使每位乘客都有座位。那么這輛汽車至少應(yīng)有座
位多少個？

    （北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽試題）

    分析與解根據(jù)題意，每站下車的乘客數(shù)最少要等于該站后面的車站數(shù)，列表
如下：

    從表中可以看出，車上乘客最多時，是在第五站乘客上下車后的人數(shù)，此時
人數(shù)為

    （10＋9 ＋8 ＋7 ＋6 ）- （1 ＋2 ＋3 ＋4 ）=30 （人）

    所以這輛汽車至少應(yīng)有座位30個。

    最大最小問題，涉及面廣，判斷最值的方法較多，上面所列舉的僅是幾種常
見的解題方法。