部分組線(xiàn)性相關(guān)，整個(gè)向量組線(xiàn)性相關(guān)。向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，延伸組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

　　回到線(xiàn)性方程組的解的問(wèn)題，即一個(gè)向量b在什么情況下能由另一個(gè)向量組a1,a2,...,an線(xiàn)性表出?如果這個(gè)向量組本身是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，可通過(guò)分析立即得到答案：b, a1, a2, ..., an線(xiàn)性相關(guān)。如果這個(gè)向量組本身是線(xiàn)性相關(guān)的，則需進(jìn)一步探討。

　　任意一個(gè)向量組，都可以通過(guò)依次減少這個(gè)向量組中向量的個(gè)數(shù)找到它的一個(gè)部分組，這個(gè)部分組的特點(diǎn)是：本身線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從向量組的其余向量中任取一個(gè)進(jìn)去，得到的新的向量組都線(xiàn)性相關(guān)，我們把這種部分組稱(chēng)作一個(gè)向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。

　　如果一個(gè)向量組A中的每個(gè)向量都能被另一個(gè)向量組B線(xiàn)性表出，則稱(chēng)A能被B線(xiàn)性表出。如果A和B能互相線(xiàn)性表出，稱(chēng)A和B等價(jià)。

　　一個(gè)向量組可能又不止一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，但可以確定的是，向量組和它的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組等價(jià)，同時(shí)由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組等價(jià)。

　　注意到一個(gè)重要事實(shí)：一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組不能被個(gè)數(shù)比它更少的向量組線(xiàn)性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個(gè)向量(對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān))的確不可能由平面內(nèi)的兩個(gè)向量組成的向量組線(xiàn)性表出。

　　一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等，我們將這個(gè)數(shù)目r稱(chēng)為向量組的秩。

　　向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數(shù)目。等價(jià)的向量組有相同的秩。

　　有了秩的概念以后，我們可以把線(xiàn)性相關(guān)的向量組用它的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組來(lái)替換掉，從而得到線(xiàn)性方程組的有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無(wú)解。

　　向量組的秩是一個(gè)自然數(shù)，由這個(gè)自然數(shù)就可以判斷向量組是線(xiàn)性相關(guān)還是線(xiàn)性無(wú)關(guān)，由此可見(jiàn)，秩是一個(gè)非常深刻而重要的概念，故有必要進(jìn)一步研究向量組的秩的計(jì)算方法。