主持人：各位新浪網(wǎng)友大家晚上好，很高興準(zhǔn)時(shí)在19：00與大家相聚在“雄心啟動(dòng)未來(lái)—2007考研權(quán)威復(fù)習(xí)策劃”活動(dòng)中，我是北京海文教育集團(tuán)傳媒中心負(fù)責(zé)人田振宇在前幾期活動(dòng)中，同學(xué)們都踴躍地提出了自己的想法，看到這么同學(xué)支持我們的復(fù)習(xí)策劃活動(dòng)，我們會(huì)更加努力的為你們答疑解惑來(lái)感謝你們的支持。今天我們?yōu)榇蠹艺?qǐng)來(lái)了國(guó)家考研數(shù)學(xué)閱卷組成員,著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)實(shí)力派專家龔兆仁老師，

    和大家談?wù)効佳袛?shù)學(xué)概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)技巧。下面有請(qǐng)龔老師。

    龔兆仁：各位同學(xué)大家晚上好。今天我就考研數(shù)學(xué)概率論與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題給大家講講學(xué)習(xí)技巧。

    在碩士研究生入學(xué)考試的數(shù)學(xué)統(tǒng)考試卷中，盡管概率統(tǒng)計(jì)和線性代數(shù)所占分?jǐn)?shù)比例完全相同（數(shù)一均為20分；數(shù)三、數(shù)四都是25分）。但是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分得分一般均低于線性代數(shù)部分，更遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于它在數(shù)學(xué)試卷中占的比例。這一方面是因?yàn)榇蠖鄶?shù)考生在復(fù)習(xí)和答卷時(shí)，把概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)放在比較后，常因時(shí)間緊迫，思慮不周而造成準(zhǔn)備不充分，進(jìn)而導(dǎo)致答卷失誤。還有些數(shù)一的考生根據(jù)幾年以前的試題分析，認(rèn)為數(shù)一的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的考題比數(shù)三和數(shù)四的容易，但是他們忽略了近兩、三年來(lái)，這一情況已經(jīng)發(fā)生了改變，比如今年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的兩個(gè)大題，數(shù)一的得分率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于數(shù)三和數(shù)四的得分率；再一方面就是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)自身的特點(diǎn)，使一部分考生在復(fù)習(xí)時(shí)難得要領(lǐng)，與微積分和線性代數(shù)相比，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)所研究的不是確定性現(xiàn)象，而是隨機(jī)現(xiàn)象。因此，在學(xué)習(xí)方法上，它不但要求學(xué)生善于運(yùn)用形式邏輯，而且必須掌握較強(qiáng)的直觀分析技巧，這也就使得考生在復(fù)習(xí)和解題時(shí)感到困難。

    概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步主要考查考生對(duì)研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的基本概念、基本理論和基本方法的理解，以及運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

    隨機(jī)事件和概率考查的主要內(nèi)容有：

    (1)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算，以及利用它們進(jìn)行概率計(jì)算；

    (2)概率的定義及性質(zhì)，利用概率的性質(zhì)計(jì)算一些事件的概率；

    (3)古典概型與幾何概型；

    (4)利用加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率；

    (5)事件獨(dú)立性的概念，利用獨(dú)立性計(jì)算事件的概率；

    (6)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，伯努利概型及有關(guān)事件概率的計(jì)算。

    概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的考分分布不僅均值偏低，而且"方差"也大。根據(jù)多年的考試成績(jī)分析，中等及中上等考生的微積分和線性代數(shù)的成績(jī)相差并不是很大，他們之間在數(shù)學(xué)成績(jī)上的差距主要來(lái)源于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分，一些競(jìng)爭(zhēng)在不穩(wěn)定邊緣上的考生甚至因此而失去被錄取的機(jī)會(huì)。

    根據(jù)上述分析，我們認(rèn)為對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分是考生在數(shù)學(xué)統(tǒng)考中的一個(gè)弱項(xiàng)，是關(guān)系考生在選拔性考試中競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)弱的關(guān)鍵一環(huán)，對(duì)中等水平的考生來(lái)說(shuō)，尤為如此。我們認(rèn)為考生在數(shù)學(xué)科目的復(fù)習(xí)安排上，要先從比較薄弱的一環(huán)開(kāi)始，也就是說(shuō)，在整個(gè)數(shù)學(xué)課程復(fù)習(xí)之初，要按照比較新考研大綱規(guī)定的內(nèi)容，先將概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)再學(xué)習(xí)一遍，要一節(jié)一節(jié)地復(fù)習(xí)，一個(gè)概念一個(gè)概念地領(lǐng)會(huì)，一個(gè)題一個(gè)題地做，以達(dá)到正確理解和掌握基本概念、基本理論和基本方法。要特別指出的是在這一階段復(fù)習(xí)時(shí)，不要輕視對(duì)教科書中一般習(xí)題的練習(xí)，一定要配合各章節(jié)內(nèi)容做一定數(shù)量的習(xí)題，總結(jié)一般題型的解題方法與思路。這一階段一般比較遲應(yīng)在今年暑假開(kāi)始之前完成。盡管這一階段僅僅是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)乃至數(shù)學(xué)全面復(fù)習(xí)的先導(dǎo)，但它是為開(kāi)始全面復(fù)習(xí)打基礎(chǔ)的階段。在此過(guò)程中，不要過(guò)多地去追求難題、技巧，要腳踏實(shí)地、全面仔細(xì)地復(fù)習(xí)，凡是考綱上有的內(nèi)容，就要不遺漏地弄會(huì)、搞透。這個(gè)階段雖然涉及綜合性提高性題型不多，但基礎(chǔ)打得好將為下階段全面綜合復(fù)習(xí)創(chuàng)造一個(gè)有利前提，更何況，很多綜合性、靈活性強(qiáng)的考題，其關(guān)鍵之處也在于考生是否能夠適當(dāng)運(yùn)用有關(guān)的比較基本概念、理論和方法。

    與“微積分”和“線性代數(shù)”不同的是，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中對(duì)基本概念的深入理解所占的比例相當(dāng)大，而其中解題的方法并不多，涉及到的技巧是很少的（甚至可以說(shuō)沒(méi)有技巧）。因此，我們首先應(yīng)該根據(jù)教育部比較新制定的“全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱”的有關(guān)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的要求進(jìn)行再學(xué)習(xí)，考試大綱的內(nèi)容分為：隨機(jī)事件和概率、大數(shù)定律和中心極限定理、隨機(jī)變量及其概率分布、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、二維隨機(jī)變量及其概率分布、參數(shù)估計(jì)、隨機(jī)變量的數(shù)字特征以及假設(shè)檢驗(yàn)。

    對(duì)于上面每一部分的“基本內(nèi)容與重要結(jié)論”要重點(diǎn)掌握（而不是一般的了解）；第二，學(xué)會(huì)題目的分析方法；第三，完成一定量的習(xí)題。 根據(jù)每個(gè)人對(duì)基本概念理解程度的不同，應(yīng)以確保重點(diǎn)、兼顧一般的方法進(jìn)行復(fù)習(xí)。

    網(wǎng)友孜孜問(wèn)：我應(yīng)該怎么把握數(shù)理統(tǒng)計(jì)分階段復(fù)習(xí)的重點(diǎn)？

    龔兆仁：考生要注意，只有數(shù)學(xué)1和數(shù)學(xué)3的同學(xué)要考數(shù)理統(tǒng)計(jì)，按照以前考試數(shù)學(xué)1一般來(lái)說(shuō)考三分之一分?jǐn)?shù)的題，數(shù)學(xué)3是四分之一，但是僅僅是一個(gè)很例外的情況，2003年數(shù)學(xué)1考了16分的數(shù)理統(tǒng)計(jì)，但是今年沒(méi)有考這部分，今年考試這個(gè)地方的命題是有一點(diǎn)有失偏頗，我個(gè)人的看法為了避免這樣的情況，所以這個(gè)地方一定要看，一般要考8分左右的題是比較合適的，到底考什么，我可以把這個(gè)范圍縮的比較小，考這么幾種題型：

    第一個(gè)是求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征或者是統(tǒng)計(jì)量的分布，統(tǒng)計(jì)量大家知道就是樣本的函數(shù)，樣本就是X1X2-Xn，就是期望、方差、系方差，相關(guān)系數(shù)等等，求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征。

    第二個(gè)題型，統(tǒng)計(jì)量既然是隨機(jī)變量，當(dāng)然可以求統(tǒng)計(jì)量的分布，2001年數(shù)學(xué)3是考了，2002年數(shù)學(xué)3考了，所以這個(gè)地方也是重要的題型。

    其次第三種題型是參數(shù)估計(jì)，你要會(huì)求。要考你背兩到三個(gè)區(qū)間估計(jì)的公式就可以了，所以為什么這個(gè)地方考的次數(shù)比較多，每一種方法你都要會(huì)做。

    第四種題型就是對(duì)估計(jì)量的好壞進(jìn)行評(píng)價(jià)，估計(jì)是無(wú)偏是有效的還是抑制的。2003年就考了一個(gè)大題。

    另外第五種題型就是假設(shè)間接這個(gè)地方，這么年以來(lái)只考過(guò)兩次，而且從99年以來(lái)練習(xí)五年這一章是沒(méi)有考，可能考一個(gè)小題，考一個(gè)什么題，就是把統(tǒng)計(jì)量寫出來(lái)，你會(huì)不會(huì)把分布寫出來(lái)，以填空的方式。另外一種考法，它的只對(duì)什么進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)什么參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，你把統(tǒng)計(jì)參數(shù)寫出來(lái)。第三種方法，設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題，把架設(shè)檢驗(yàn)的十個(gè)步驟做出來(lái)，第一個(gè)步驟是提出架設(shè)，第二步寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。這個(gè)部分也不會(huì)出一個(gè)大題，應(yīng)該是以小題的形式出現(xiàn)。

    網(wǎng)友留流問(wèn)：龔老師，您好，我應(yīng)該怎么了解概率問(wèn)題的重點(diǎn)及得分方法？

    龔兆仁：這個(gè)可以看作我們概率一個(gè)基礎(chǔ)，我不知道這個(gè)網(wǎng)友是考數(shù)學(xué)幾，隨機(jī)變量分布這是一大塊內(nèi)容，基本每都年考一點(diǎn)，還有一個(gè)就是數(shù)理特征和數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本考一個(gè)大題，概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)這部分如果從復(fù)習(xí)角度來(lái)看我們首先要理解概念，我認(rèn)為這里面有三個(gè)典型途徑：第一古典概率，一個(gè)概率的公式的推算，第二個(gè)途徑就是利用我們的分布信息來(lái)求概率，我們涉及到一維的也可以是二維的，即可以是離散型的也可以是連續(xù)型的，都有求概率的方法，我們討論概率統(tǒng)計(jì)里的問(wèn)題，比如分布函數(shù)問(wèn)題，本身就是求概率，你只要知道求概率統(tǒng)計(jì)三個(gè)途徑，所以我討論分布函數(shù)，由分布函數(shù)可以討論概率分布函數(shù)，源頭是分布函數(shù)，分布函數(shù)基礎(chǔ)是求概率，通過(guò)這個(gè)角度把握我認(rèn)為概率統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)不是你想象的那么復(fù)雜了。這里面重點(diǎn)的是二兩者，第一種古典概率考的是排列組合，這個(gè)是初中內(nèi)容，稍微難一點(diǎn)古典概率的題，同學(xué)沒(méi)有過(guò)多關(guān)心，不會(huì)從這個(gè)角度考的，而是根據(jù)我剛才的分析。所以把握這種思路以后，實(shí)際上概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)應(yīng)該把線性代數(shù)，特別比高等數(shù)學(xué)更好拿分。另外稍微應(yīng)該注意一下概率統(tǒng)計(jì)里面隨機(jī)事件和隨機(jī)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。我們可以通過(guò)隨機(jī)事件引進(jìn)隨機(jī)變量，反過(guò)來(lái)也可以，所以大家復(fù)習(xí)時(shí)候。討論隨機(jī)事件之間關(guān)系問(wèn)題也可以借用隨機(jī)變量之間關(guān)系分析，這是概率統(tǒng)計(jì)方面大家應(yīng)該注意幾個(gè)比較典型的知識(shí)點(diǎn)。

    網(wǎng)友兔兔問(wèn)：概率的公式、概念比較多，怎么記？

    龔兆仁：我們看這樣一個(gè)模型，這是概率里經(jīng)常見(jiàn)到的，從實(shí)際產(chǎn)品里面我們每次取一個(gè)產(chǎn)品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽簽抓鬮的模型�，F(xiàn)在我說(shuō)四句話，大家看看有什么不同，第一句話“求一下第三次取到十件產(chǎn)品有七件正品三件次品，我們每次取一件，取后不放回”，下面我們來(lái)求四個(gè)類型，第一問(wèn)我們求第三次取得次品的概率。第二問(wèn)我們求第三次才取得次品的概率。第三問(wèn)已知前兩次沒(méi)有取得次品第三次取到次品。第四問(wèn)不超過(guò)三次取到次品。大家看到這四問(wèn)的話我想是容易糊涂的，這是四個(gè)完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生認(rèn)為有的就是一個(gè)類型，但實(shí)際上是不一樣的。

    先看第一個(gè)“第三次取得次品”，這個(gè)概率與前面取得什么和后面取得什么都沒(méi)有關(guān)系，所以這個(gè)我們叫絕對(duì)概率。第一個(gè)概率我想很多考生都知道，這個(gè)概率應(yīng)該是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出來(lái)都是十分之三。這個(gè)概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是說(shuō)這個(gè)概率與次數(shù)是沒(méi)有關(guān)系的。所以在這里我們可以看出，日常生活中抽簽、抓鬮從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)是公平的。

    拿這個(gè)模型來(lái)說(shuō)，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我們?cè)倏纯吹诙�個(gè)概率，第三次才取到次品的概率，這個(gè)事件描述的是績(jī)事件，這是概率里重要的概念，改變表示同時(shí)發(fā)生的概率。但是這個(gè)與第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以這樣表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。

    如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求ABC績(jī)事件發(fā)生的概率。第三問(wèn)表示條件概率，已知前兩次沒(méi)有取到次品，第三次取到次品P（C|AB），第三問(wèn)求的就是一個(gè)條件概率。我們看第四問(wèn)，不超過(guò)三次取得次品，這是一個(gè)和事件的概率，就是P（A＋B＋C）。從這個(gè)例子大家可以看出，概率論確實(shí)對(duì)題意的理解非常重要，要把握準(zhǔn)確，否則就得不到準(zhǔn)確的答案。

    網(wǎng)友親親問(wèn)：龔老師，您好，概率的復(fù)習(xí)應(yīng)該怎么進(jìn)行？

    龔兆仁：復(fù)習(xí)分成三個(gè)階段，概率統(tǒng)計(jì)其實(shí)一樣。作為第一個(gè)階段，我們應(yīng)該叫做基礎(chǔ)階段， 07年6月份以前，要想考研不是說(shuō)從今年三月份開(kāi)始就可以了，我認(rèn)為從你考上大學(xué)那天開(kāi)始，你就應(yīng)該開(kāi)始了,好好聽(tīng)課，別等到現(xiàn)在都忘得差不多了.所以說(shuō)呢，第一階段是沒(méi)有起點(diǎn)的，那么這一段作為概率統(tǒng)計(jì)怎么復(fù)習(xí)？不能拿著我過(guò)去學(xué)過(guò)的課本來(lái)看一看,做一做就不管了.為什么？第一，你所學(xué)過(guò)的東西我們不一定考，考的很多東西都沒(méi)有學(xué)過(guò)，比如怎么判斷連續(xù)性隨機(jī)變量獨(dú)立性呢？有人說(shuō)我求邊緣密度。邊緣密度的乘積等于聯(lián)合密度就叫獨(dú)立，我說(shuō)對(duì)，但考研不能就這樣出題,它要的是新的方法，我們講的基本概念，基本公式，基本方法要掌握。但你沒(méi)有學(xué)過(guò)的方法也應(yīng)該掌握。

    主持人：感謝龔兆仁老師為我們帶來(lái)的精彩解答。

    龔兆仁：謝謝大家，同學(xué)們?nèi)绻�在考研�?fù)習(xí)上面還有什么不明白的地方，歡迎大家經(jīng)常交流。

    主持人：謝謝各位同學(xué)的關(guān)注，請(qǐng)大家繼續(xù)關(guān)注4月17日的“雄心啟動(dòng)未來(lái)—2007考研權(quán)威復(fù)習(xí)策劃”活動(dòng)。再見(jiàn)！