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高一數學:解題基本方法有哪些(2)

2017-01-20 22:12:22 來源：精品學習網

 　　五、數學歸納法

　　歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分對象具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。

　　數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n=1(或n)時成立，這是遞推的基礎;第二步是假設在n=k時命題成立，再證明n=k+1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定"對任何自然數(或n≥n且n∈N)結論都正確"。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納。

　　運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n=k+1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。

　　運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。

　　六、參數法

　　參數法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學對象發(fā)生聯系的新變量(參數)，以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數方程都是用參數法解題的例證。換元法也是引入參數的典型例子。

　　辨證唯物論肯定了事物之間的聯系是無窮的，聯系的方式是豐富多采的，科學的任務就是要揭示事物之間的內在聯系，從而發(fā)現事物的變化規(guī)律。參數的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內在聯系。參數體現了近代數學中運動與變化的思想，其觀點已經滲透到中學數學的各個分支。運用參數法解題已經比較普遍。

　　參數法解題的關鍵是恰到好處地引進參數，溝通已知和未知之間的內在聯系，利用參數提供的信息，順利地解答問題。

　　七、反證法

　　與前面所講的方法不同，反證法是屬于"間接證明法"一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。法國數學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質作過概括："若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾"。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。

　　反證法所依據的是邏輯思維規(guī)律中的"矛盾律"和"排中律"。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的"矛盾律";兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說"A或者非A"，這就是邏輯思維中的"排中律"。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據"矛盾律"，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以"否定的結論"必為假。再根據"排中律"，結論與"否定的結論"這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據的，反證法是可信的。

　　反證法的證題模式可以簡要的概括我為"否定→推理→否定"。即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是"否定之否定"。應用反證法證明的主要三步是：否定結論→推導出矛盾→結論成立。實施的具體步驟是：

　　第一步，反設：作出與求證結論相反的假設;

　　第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾;

　　第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

　　在應用反證法證題時，一定要用到"反設"進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫"歸謬法";如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫"窮舉法"。

　　在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過："反證法是數學家最精當的武器之一"。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以"否定形式"、"至少"或"至多"、"唯一"、"無限"形式出現的命題;或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題;或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。

　　(責任編輯：康彥林)

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