高一數(shù)學(xué)協(xié)方差公式
兩個不同參數(shù)之間的方差就是協(xié)方差 若兩個隨機(jī)變量X和Y相互獨立，則E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述數(shù)學(xué)期望不為零，則X和Y必不是相互獨立的，亦即它們之間存在著一定的關(guān)系。
定義
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差，記作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
協(xié)方差與方差之間有如下關(guān)系：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y)
協(xié)方差與期望值有如下關(guān)系：
COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
協(xié)方差的性質(zhì)：
(1)COV(X，Y)=COV(Y，X);
(2)COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，(a，b是常數(shù));
(3)COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。
由協(xié)方差定義，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。
協(xié)方差作為描述X和Y相關(guān)程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用，但同樣的兩個量采用不同的量綱使它們的協(xié)方差在數(shù)值上表現(xiàn)出很大的差異。為此引入如下概念：
定義
ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)。
定義
若ρXY=0，則稱X與Y不相關(guān)。
即ρXY=0的充分必要條件是COV(X，Y)=0，亦即不相關(guān)和協(xié)方差為零是等價的。
定理
設(shè)ρXY是隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)，則有
(1)∣ρXY∣≤1;
(2)∣ρXY∣=1充分必要條件為P{Y=aX+b}=1，(a，b為常數(shù)，a≠0)
定義
設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，則稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩。
若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，則稱它為X的k階中心矩。
若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點矩。
若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。
顯然，X的數(shù)學(xué)期望E(X)是X的一階原點矩，方差D(X)是X的二階中心矩，協(xié)方差COV(X，Y)是X和Y的二階混合中心矩。
(責(zé)任編輯：張新革)
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