高一數(shù)學習題：奇偶性
1.下列命題中，真命題是( )
A.函數(shù)y=1x是奇函數(shù)，且在定義域內為減函數(shù)
B.函數(shù)y=x3(x-1)0是奇函數(shù)，且在定義域內為增函數(shù)
C.函數(shù)y=x2是偶函數(shù)，且在(-3,0)上為減函數(shù)
D.函數(shù)y=ax2+c(ac≠0)是偶函數(shù)，且在(0,2)上為增函數(shù)
解析：選C.選項A中，y=1x在定義域內不具有單調性;B中，函數(shù)的定義域不關于原點對稱;D中，當a<0時，y=ax2+c(ac≠0)在(0,2)上為減函數(shù)，故選C.
2.奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為-1，則2f(-6)+f(-3)的值為( )
A.10 B.-10
C.-15 D.15
解析：選C.f(x)在[3,6]上為增函數(shù)，f(x)max=f(6)=8，f(x)min=f(3)=-1.∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.
3.f(x)=x3+1x的圖象關于( )
A.原點對稱 B.y軸對稱
C.y=x對稱 D.y=-x對稱
解析：選A.x≠0，f(-x)=(-x)3+1-x=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)，關于原點對稱.
4.如果定義在區(qū)間[3-a,5]上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，那么a=________.
解析：∵f(x)是[3-a,5]上的奇函數(shù)，
∴區(qū)間[3-a,5]關于原點對稱，
∴3-a=-5，a=8.
答案：8
1.函數(shù)f(x)=x的奇偶性為( )
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)
解析：選D.定義域為{x|x≥0}，不關于原點對稱.
2.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( )
A.f(x)=|x|+x B.f(x)=x2+1x
C.f(x)=x2+x D.f(x)=|x|x2
解析：選D.只有D符合偶函數(shù)定義.
3.設f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是( )
A.f(x)f(-x)是奇函數(shù)
B.f(x)|f(-x)|是奇函數(shù)
C.f(x)-f(-x)是偶函數(shù)
D.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)
解析：選D.設F(x)=f(x)f(-x)
則F(-x)=F(x)為偶函數(shù).
設G(x)=f(x)|f(-x)|，
則G(-x)=f(-x)|f(x)|.
∴G(x)與G(-x)關系不定.
設M(x)=f(x)-f(-x)，
∴M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)為奇函數(shù).
設N(x)=f(x)+f(-x)，則N(-x)=f(-x)+f(x).
N(x)為偶函數(shù).
4.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函數(shù)，那么g(x)=ax3+bx2+cx( )
A.是奇函數(shù)
B.是偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D.是非奇非偶函數(shù)
解析：選A.g(x)=x(ax2+bx+c)=xf(x)，g(-x)=-x•f(-x)=-x•f(x)=-g(x)，所以g(x)=ax3+bx2+cx是奇函數(shù);因為g(x)-g(-x)=2ax3+2cx不恒等于0，所以g(-x)=g(x)不恒成立.故g(x)不是偶函數(shù).
5.奇函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象必過點( )
A.(a，f(-a)) B.(-a，f(a))
C.(-a，-f(a)) D.(a，f(1a))
解析：選C.∵f(x)是奇函數(shù)，
∴f(-a)=-f(a)，
即自變量取-a時，函數(shù)值為-f(a)，
故圖象必過點(-a，-f(a)).
6.f(x)為偶函數(shù)，且當x≥0時，f(x)≥2，則當x≤0時( )
A.f(x)≤2 B.f(x)≥2
C.f(x)≤-2 D.f(x)∈R
解析：選B.可畫f(x)的大致圖象易知當x≤0時，有f(x)≥2.故選B.
7.若函數(shù)f(x)=(x+1)(x-a)為偶函數(shù)，則a=________.
解析：f(x)=x2+(1-a)x-a為偶函數(shù)，
∴1-a=0，a=1.
答案：1
8.下列四個結論：①偶函數(shù)的圖象一定與縱軸相交;②奇函數(shù)的圖象一定通過原點;③f(x)=0(x∈R)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù);④偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.其中正確的命題是________.
解析：偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，不一定與y軸相交，①錯，④對;奇函數(shù)當x=0無意義時，其圖象不過原點，②錯，③對.
答案：③④
9.①f(x)=x2(x2+2);②f(x)=x|x|;
�、踗(x)=3x+x;④f(x)=1-x2x.
以上函數(shù)中的奇函數(shù)是________.
解析：(1)∵x∈R，∴-x∈R，
又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x)，
∴f(x)為偶函數(shù).
(2)∵x∈R，∴-x∈R，
又∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù).
(3)∵定義域為[0，+∞)，不關于原點對稱，
∴f(x)為非奇非偶函數(shù).
(4)f(x)的定義域為[-1,0)∪(0,1]
即有-1≤x≤1且x≠0，則-1≤-x≤1且-x≠0，
又∵f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x).
∴f(x)為奇函數(shù).
答案：②④
10.判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)=(x-1) 1+x1-x;(2)f(x)=x2+x x<0-x2+x x>0.
解：(1)由1+x1-x≥0，得定義域為[-1,1)，關于原點不對稱，∴f(x)為非奇非偶函數(shù).
(2)當x<0時，-x>0，則f(-x)=-(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，
當x>0時，-x<0，則f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，
綜上所述，對任意的x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f(-x)=-f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù).
11.判斷函數(shù)f(x)=1-x2|x+2|-2的奇偶性.
解：由1-x2≥0得-1≤x≤1.
由|x+2|-2≠0得x≠0且x≠-4.
∴定義域為[-1,0)∪(0,1]，關于原點對稱.
∵x∈[-1,0)∪(0,1]時，x+2>0，
∴f(x)=1-x2|x+2|-2=1-x2x，
∴f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x)，
∴f(x)=1-x2|x+2|-2是奇函數(shù).
12.若函數(shù)f(x)的定義域是R，且對任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.試判斷f(x)的奇偶性.
解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，
得f(0+0)=f(0)+f(0)，
∴f(0)=0.
再令y=-x，則f(x-x)=f(x)+f(-x)，
即f(x)+f(-x)=0，
∴f(-x)=-f(x)，故f(x)為奇函數(shù).
(責任編輯：張新革)
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