高一數學:方差公式
一.方差的概念與計算公式
例1 兩人的5次測驗成績如下：
X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;
Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成績相同，但X 不穩(wěn)定，對平均值的偏離大。
方差描述隨機變量對于數學期望的偏離程度。
單個偏離是
消除符號影響
方差即偏離平方的均值，記為D(X )：
直接計算公式分離散型和連續(xù)型，具體為：
這里 是一個數。推導另一種計算公式
得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。
其中，分別為離散型和連續(xù)型計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動
二.方差的性質
1.設C為常數，則D(C) = 0(常數無波動);
2. D(CX )=C2 D(X ) (常數平方提取);
證：
特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負值)
3.若X 、Y 相互獨立，
則證：
記則前面兩項恰為 D(X )和D(Y )，第三項展開后為
當X、Y 相互獨立時，
故第三項為零。
特別地
獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。
方差公式：
平均數：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示這組數據個數，x1、x2、x3……xn表示這組數據具體數值)
方差公式：S2=〈(M-x1)2+(M-x2)2+(M-x3)2+…+(M-xn)2〉?n
三.常用分布的方差
1.兩點分布
2.二項分布
X ~ B ( n, p )
引入隨機變量 Xi (第i次試驗中A 出現的次數，服從兩點分布)，
3.泊松分布(推導略)
4.均勻分布
另一計算過程為
5.指數分布(推導略)
6.正態(tài)分布(推導略)
7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
正態(tài)分布的后一參數反映它與均值 的偏離程度，即波動程度(隨機波動)，這與圖形的特征是相符的。
例2 求上節(jié)例2的方差。
解 根據上節(jié)例2給出的分布律，計算得到
工人乙廢品數少，波動也小，穩(wěn)定性好。
方差的定義：
設一組數據x1,x2,x3??????xn中，各組數據與它們的平均數x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)2，(x2-x拔)2??????(xn-x拔)2，那么我們用他們的平均數s2=1/n【(x1-x拔)2+(x2-x拔)2+?????(xn-x拔)2】來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差。
(責任編輯：康彥林)
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