22. 小猴子數(shù)桃子

    猴子媽媽采來了一籃桃子，她讓小猴子數(shù)一數(shù)共采了多少桃子。小猴子3 個
3 個地數(shù)，最后多出1 個，它就把多出的一個扔在一邊；它又5 個5 個地數(shù)，到
最后還是多出一個，它又把多出的1 個扔在一邊；最后它7 個7 個地數(shù)，還是多
出1 個。它數(shù)了三次，到底有多少桃子，還是不清楚。小朋友，你知道這籃子里
至少有多少個桃子嗎？

    分析與解

    本題可概括為“一個數(shù)用3 除余1 ，用5 除余2 ，用7 除余3 ，這個數(shù)最小
是多少？”

    我們從余數(shù)開始逆推：由于用3 除余1 ，所以這個數(shù)為3n+1（n 為正整數(shù)）。

    要使3n+1這個數(shù)繼而滿足用5 除余2 的條件，可用n=1 ，2 ，3 ……來試代，
發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=2 時，3 ×2+1=7 滿足條件。

    由于15能被3 和5 整除，所以15m+7 這些數(shù)（m 為正整數(shù)），也能滿足用3
除余1 ，用5 除余2 這兩個條件。

    在15m+7 中選擇適當(dāng)?shù)膍 ，使之用7 除得到的余數(shù)為3.也是采取試代的方法，
試代的結(jié)果得出：當(dāng)m=3 時滿足條件。

    這樣15×3+7= 52 為所求的答案，也就是說這籃桃子至少有52個。

    對于這類用3 、5 、7 三個數(shù)來除分別得到不同余數(shù)的題目，有沒有一個解
答的規(guī)律呢？有。我國有個著名的余數(shù)定理，它可以用四句詩來形象地記憶。

    三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團(tuán)圓正半月，拋五去百便得知。

    這四句詩叫“孫子點兵”歌，外國稱它為“中國剩余定理”。這首詩的意思
是：70乘上用3 除所得的余數(shù)，21乘上用5 除所得的余數(shù)，15乘上用7 除所得的
余數(shù)，然后把這三個乘積加起來，其和加或減105 的整數(shù)倍，就可以得到所需要
的數(shù)了。

    現(xiàn)在我們回到本題，并運(yùn)用上述辦法求解。由于用3 除余1 ，用5 除余2 ，
用7 除余3 ，所以，70×1+21×2+15×3 =70+42+45 =157因為要求的是最小值，
所以157-105 =52