同學(xué)們要參加運動會入場式，要進(jìn)行隊列操練，解放軍排著整齊的方隊接受
檢閱等，無論是訓(xùn)練或接受檢閱，都要按一定的規(guī)則排成一定的隊形，于是就產(chǎn)
生了這一類的數(shù)學(xué)問題，今天我們將共同研究和分析這類問題。

    士兵排隊，橫著排叫行，豎著排叫列，若行數(shù)與列數(shù)都相等，正好排成一個
正方形，這就是一個方隊，這種方隊也叫做方陣（亦叫乘方問題）。

    方陣的基本特點：

    （1 ）方陣不論哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同，每向里一層，每
邊上的人數(shù)就少2.

    （2 ）每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）的關(guān)系；

    四周人（或物）數(shù)=[每邊人（或物）數(shù)-1] ×4

    每邊人（或物）數(shù)= 四周人（或物）數(shù)÷4+1

    （3 ）中實方陣的總?cè)藬?shù)（或物）= 每邊人（或物）數(shù)×每邊人（或物）數(shù)

    （4 ）空心方陣的總?cè)耍ɑ蛭铮��?shù)= （最外層每邊人（或物）數(shù)－空心方陣
的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4

    例1.三年級一班參加運動會入場式，排成一個方陣，最外層一周的人數(shù)為20
人，問方陣最外層每邊的人數(shù)是多少？這個方陣共有多少人？

    分析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知：

    每邊人數(shù)= 四周人數(shù)÷4+1 ，可以求出這個方陣最外層每邊的人數(shù)，那么這
個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。

    解：（1 ）方陣最外層每邊的人數(shù)：20÷4+1=5+1=6 （人）

    （2 ）整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：6 ×6=36（人）

    答：方陣最外層每邊的人數(shù)是6 人，這個方陣共有36人。

    例2.明明用圍棋子擺成一個三層空心方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個，
明明擺這個方陣最里層一周共有多少棋子？擺這個三層空心方陣共用了多少個棋
子？

    分析：（1 ）方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2 個，知道最外面一層，
每邊放15個，可以求出最里層每邊的個數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。

    （2 ）根據(jù)最外層每邊放棋子的個數(shù)減去這個空心方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，
再乘以4 ，計算出這個空心方陣共用棋子多少個。

    解：（1 ）最里層一周棋子的個數(shù)是：（15-2-2-1）×4=40（個）

    （2 ）這個空心方陣共用的棋子數(shù)是：（15-3）×3 ×4=144 （個）

    答：這個方陣最里層一周有40個棋子；擺這個空心方陣共用144 個棋子。

    例3.玲玲家的花園中，有一個如下圖那樣，由四個大小相同的小等邊三角形
組成的一個大三角形花壇，玲玲在這個花壇上種了若干棵雞冠花，已知每個小三
角形每邊上種雞冠花5 棵，問大三角形的一周有雞冠花多少棵？玲玲一共種雞冠
花多少棵？

    分析：（1 ）由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的，而
在大三角形一條邊的中間那棵花，是兩條小三角形的邊所共用的，所以如果小三
角形每邊種花5 棵，那么大三角形每邊上種花的棵數(shù)就是5 ×2-1=9 棵了，又由
于大三角形三個頂點上的3 棵花，都是大三角形的兩條邊所共用的，所以大三角
形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù)的和減去三個頂點上重復(fù)計算的
3 棵花，即：9 ×3-3=24，就是大三角形一周種花的棵數(shù)。

    （2 ）三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和，等于里邊小三角形一周上種花
的棵數(shù)，加上大三角形一周種花的棵數(shù)，再減去重復(fù)計算的3 棵花（因為里邊小
三角形的三個頂點上的三棵花，也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花）。

    解：（1 ）大三角形一周上種花的棵數(shù)是：（5 ×2-1 ）×3-3=24（棵）

    （2 ）小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是：（5-1 ）×3=12（棵）

    （3 ）玲玲一共種雞冠花的棵數(shù)是：24+12-3=33（棵）

    答：大三角形一周種雞冠花24棵；玲玲一共種雞冠花33棵。

    例4.五年級學(xué)生分成兩隊參加學(xué)校廣播操比賽，他們排成甲乙兩個方陣，其
中甲方陣每邊的人數(shù)等于8 ，如果兩隊合并，可以另排成一個空心的丙方陣，丙
方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多4 人，甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空
心五年級參加廣播操比賽的一共有多少人？

    分析：若只排列一個乙方陣，則多余的人數(shù)為（即甲方陣的人數(shù)）8 ×8=64
（人），排列一個實心的丙方陣，不足的人數(shù)是：8 ×8=64（人）假設(shè)丙方陣為
實心方陣，則乙多的人數(shù)是：8 ×8+8 ×8=128 （人），又根據(jù)方陣擴(kuò)展一層，
每邊增加2 人，丙方陣比乙方陣的外邊多4 人，丙方陣多于乙方陣的層數(shù)是4 ÷
2=2 （層），方陣擴(kuò)展2 層，需要增加128 人，則方陣最外層的人數(shù)是（128+2
×4 ）÷2=68（人），丙方陣的總?cè)藬?shù)18×18-8×8=260 （人）

    解：（1 ）假設(shè)丙方陣為實心方陣，則方陣最外層的人數(shù)是：（8 ×8+8 ×
8+2 ×4 ）÷2=68（人）

    （2 ）丙方陣最外層每邊的人數(shù)是：68÷4+1=18（人）

    （3 ）空心丙方陣的總?cè)藬?shù)：18×18-8×8=324-64=260（人）

    答：五年級參加廣播操比賽的一共有260 人。

    例5.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成7 行7 列的方陣，問這個方陣最
外一層有楊樹和柳樹各多少棵？方陣中共有楊樹，柳樹各多少棵？

    分析：根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種，假設(shè)黑點表示楊樹，白
點表示柳樹觀察圖（1 ）（2 ）不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在
方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而
楊樹和柳樹的棵數(shù)相等，即最外層楊，柳樹分別為（7-1 ）×4 ÷2=12（棵）。

    當(dāng)柳樹種在方陣最外層的角上時，最內(nèi)層的一棵是柳樹；當(dāng)楊樹種在方陣最
外層的角上時，最內(nèi)層的一棵是楊樹，即在方陣中，楊樹和柳樹總數(shù)相差1 棵。

    解：（1 ）最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為：（7-1 ）×4 ÷2=12（棵）

    （2 ）當(dāng)楊樹種在最外層角上時，楊樹比柳樹多1 棵：楊樹：（7 ×7+1 ）

    ÷2=25（棵）

    柳樹：7 ×7-25=24 （棵）

    （3 ）當(dāng)柳樹種在最外層角上時，柳樹比楊樹多1 樹柳樹（7 ×7+1 ）÷2=25
（棵）

    楊樹7 ×7-25=24 （棵）

    答：在圖（1 ）（2 ）兩種方法中，方陣最外層都有楊樹12棵，柳樹12棵，
方陣中總共有楊樹25棵，柳樹12棵，方陣中總共有楊樹25棵，柳樹24棵，或者有
楊樹24棵，柳樹25棵。

    練一練

    1.有一隊士兵，排成了一個方陣，最外層一周共有240 人，問這個方陣共有
多少人？

    2.某校少先隊員可以排成一個四層空心方陣如果最外層每邊有20個學(xué)生，問
這個空心方陣最里邊一周有多少個學(xué)生？這個四層空心方陣共有多少個學(xué)生？

    3.六一兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周圍，用204 盆鮮花圍成了一個每邊三層
的方陣求最外面一層每邊有鮮花多少盆？

    4.三年級（1 ）班的學(xué)生參加體操表演，排成隊形正好是由每7 個人為一邊
的6 個三角形組成的一個正六邊形，求正六邊形一周共有多少名學(xué)生？三（1 ）

    班參加體操表演的共有多少人？

    5.現(xiàn)有松樹和柏樹以隔株相間的種法，種成9 行9 列的方陣，問這個方陣最
外層有松樹和柏樹各多少棵？方陣中共有松樹柏樹各多少棵？

    練一練答案

    （1 ）（240 ÷4 ）-1=59 （人）　　59×59=3481 （人）

    （2 ）（20-2×3-1 ）×4=42（個）�。�20-40 ×4 ×4=256 （個）

    （3 ）最外層每邊人數(shù)= 總數(shù)÷4 ÷層數(shù)+ 層數(shù)

    204 ÷4 ÷3+3=20（盆）

    （4 ）7 ×6-6=36（人）　7 ×12-6×2-5=67（人）

    （5 ）最外層松柏各是：（9-1 ）×4 ÷2=16（棵）

    共有松柏樹是：（9 ×9+1 ）÷2=41（棵）　　81-41=40（棵）

    答：柏樹41棵，松樹40棵，或松樹41棵，柏樹40棵。