1.三邊均為整數(shù)，且最長(zhǎng)邊為11的三角形有多少個(gè)？

    參考答案：

    11，11，11；11，11，10；11，11，9 ；……11，11，1 ；

    11，10，10；11，10，9 ；……11，10，2 ；

    11，9 ，9 ；……11，9 ，3 ；

    11，8 ，8 ；……11，8 ，4 ；

    11，7 ，7 ，……11，7 ，5 ；

    11，6 ，6 ；

    1+3+5+7+9+11=6^2=36

    如果將11改為n 的話，

    n=2k-1時(shí)，為k^2 個(gè)三角形；

    n=2k時(shí)，為（k+1 ）k 個(gè)三角形。

    2.已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的算術(shù)級(jí)數(shù)，其中一項(xiàng)是完全平方數(shù)，證明：此級(jí)數(shù)
一定含有無(wú)窮多個(gè)完全平方數(shù)。

    參考答案

    證明：首先由級(jí)數(shù)各項(xiàng)為正可知公差d>=0，d=0 ，則a1=a2=a3= ……=an=…

    …所以只要有一項(xiàng)為完全平方數(shù)，所有項(xiàng)均為完全平方數(shù)，由于級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)
為無(wú)限，所以命題得證。

    d>0 ，時(shí)d 一定為正整數(shù)。不妨設(shè)第i 項(xiàng)為完全平方數(shù)ai=k^2（i=1 ，2 ，
3 ，……），則ai+ （2k+d）d=k^2+2kd+d^2=（k+d ）^2，也為完全平方數(shù)，所
以第i+（2k+d）d 項(xiàng)為完全平方數(shù)，一般的有i+（2nk+n^2d）（n=1 ，2 ，3 ，
……）項(xiàng)均為完全平方數(shù)（數(shù)學(xué)歸納法的證明略），由于n 可取無(wú)窮項(xiàng)，所以命
題得證。

    綜上命題成立。

    3.求所有的素?cái)?shù)p ，使4p^2＋1 和6p^2＋1 也是素?cái)?shù)。

    參考答案

    考慮p 對(duì)5 的余數(shù)，余數(shù)為1 時(shí)

    余數(shù)為1 時(shí)：4p^2+1≡4*1+1 ≡0 （mod5），由于4p^2+1>=4*2^2+1=17，而
又可以被5 整除，所以一定不是素?cái)?shù)；

    余數(shù)為2 時(shí)：6p^2+1≡6*4+1 ≡0 （mod5），由于6p^2+1>=6*2^2+1=25，而
又可以被5 整除，所以一定不是素?cái)?shù)；

    余數(shù)為3 時(shí)：6p^2+1≡6*9+1 ≡0 （mod5），由于6p^2+1>=6*2^2+1=25，而
又可以被5 整除，所以一定不是素?cái)?shù)；

    余數(shù)為4 時(shí)：4p^2+1≡4*16+1≡0 （mod5），由于4p^2+1>=4*2^2+1=17，而
又可以被5 整除，所以一定不是素?cái)?shù)；

    所以由上可知5|p ，然而p 是質(zhì)數(shù)，所以p 只能是5.

    4.證明存在無(wú)限多個(gè)自然數(shù)a 有下列性質(zhì)：對(duì)任何自然數(shù)n ，z ＝n^4 ＋a
都不是素?cái)?shù)。

    參考答案

    證明：利用費(fèi)馬小定理的另一種形式p|n^（p-1 ）-1，（p 為質(zhì)數(shù)，n 為任
意自然數(shù)），所以p-1=4 ，p=5 ，5|n^4-1 ，所以5|n^4-1+5 ，5|n^4+4 ，5|n^4+9，
5|n^4+14……由于n^4+9>5 ，所以a=9 ，14，19，24，……5k+4（k=1 ，2 ，3 ，
……）均可使z ＝n^4 ＋a 都不是素?cái)?shù)，所以命題得證。

    5.證明：如果p 和p ＋2 都是大于3 的素?cái)?shù)，那么6 是p ＋1 的因數(shù)