2017年考研數(shù)學(xué)考試分析之高頻大題

　　考研數(shù)學(xué)的考點較分散，所以提醒考生打牢基礎(chǔ)，作全面的復(fù)習(xí)。在此基礎(chǔ)上，那些真題中高頻必考題型，考生須給予重視。本文為考生揭開高數(shù)中那些高頻必考大題的神秘面紗。

　　一、極限計算

　　整張試卷共23題，其中第15題幾乎是極限計算大題的代名詞。極限計算有8種武器，分別為：四則運算法則、等價無窮小替換、洛必達(dá)法則、冪指型函數(shù)的處理、單側(cè)極限、夾逼定理、單調(diào)有界必有極限原理和泰勒公式。

　　考生在基礎(chǔ)階段要把前5種武器掌握好：內(nèi)容是什么弄清楚，會應(yīng)用。后3種武器較難把握，我們可以分階段啃下這幾個硬骨頭。基礎(chǔ)階段弄清定理內(nèi)容，會做基本題目。

　　對于夾逼定理，內(nèi)容方面，考生要知曉它有數(shù)列和函數(shù)兩種形式。每種形式條件是什么，結(jié)論是什么要理解。以數(shù)列形式為例，條件是一個數(shù)列夾在另兩個數(shù)列之間(bn<= an<= cn, 只要n充分大時成立即可，因為考慮的是極限)，且有n趨于無窮時，兩邊的數(shù)列收斂到相同的數(shù)，結(jié)論是夾在中間的數(shù)列極限存在且極限值也為相同的數(shù)。應(yīng)用方面，要熟悉夾逼定理推出的一個結(jié)論：無窮小乘有界量等于無窮小。會用夾逼定理計算一種長得很有型的數(shù)列的極限——n項分母互不相同的分式的和的極限。

　　對于單調(diào)有界必有極限原理，內(nèi)容不難理解。應(yīng)用方面，可以處理另一種長得很有型的數(shù)列的極限問題——遞推式數(shù)列的極限的存在性問題中的簡單題;也可以到了強化階段再全面處理這種題。

　　泰勒公式可以說是算極限的最強大的武器。萬物對立統(tǒng)一，這么強大的武器理解和運用起來自然會有些難度。基礎(chǔ)階段，要理解泰勒公式有兩種形式——帶皮亞諾余項的公式和帶拉格朗日余項的公式，前者用來算極限，后者用來證明。算極限，需要記憶常見函數(shù)的泰勒公式。

　　二、中值相關(guān)證明

　　中值相關(guān)證明是考研數(shù)學(xué)公認(rèn)的難點，考生得分率在30%以下。該部分內(nèi)容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理�；�礎(chǔ)階段，要求考生對上述定理的內(nèi)容能完整表述，前四個定理會證明。

　　在基礎(chǔ)階段提出“會證”的要求并不過分，理由有三：1. 2015年真題考到了乘積的導(dǎo)數(shù)公式的證明，這提醒考生教材中的重要定理要會證;2. 2009年數(shù)一、二、三考了拉格朗日中值定理的證明3. 教材中原定理的證明中蘊含中證明其它結(jié)論的思想。

　　三、多元極值

　　多元極值問題分成兩個子問題：無條件極值和條件極值。

　　1. 無條件極值

　　此類問題的表述為：求某二元函數(shù)f(x，y)的極值(或最值)。處理思路為利用多元函數(shù)極值的必要條件和充分條件。通過必要條件找出可能的極值點(駐點和不可導(dǎo)點)，利用充分條件一一判斷。這部分考點及處理方式可以看成一元函數(shù)極值問題的考點及處理方式的自然推廣。

　　2. 條件極值

　　此類問題的表述為：求某二元函數(shù)f(x，y)在約束條件g(x，y)=0下的極值(或最值)。處理思路為拉格朗日乘數(shù)法。

　　四、二重積分

　　二重積分幾乎是數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三的必考內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)一同學(xué)學(xué)習(xí)多元積分的基礎(chǔ)。二重積分比較關(guān)鍵的是計算步驟。拿到一個二重積分，第一步應(yīng)檢驗奇偶對稱性。有同學(xué)可能由于想不到或急于求成，未用對稱性化簡，結(jié)果徒增運算量，增大出錯的概率。第二步應(yīng)選擇坐標(biāo)系。只需搞清何時選擇極坐標(biāo)系，其余情況選擇直角坐標(biāo)系既可。二重積分有兩個要素——積分區(qū)域和被積函數(shù)，所以計算過程中涉及到選擇的時候要一看積分區(qū)域，二看被積函數(shù)。積分區(qū)域若為圓域或部分圓域，或者區(qū)域的邊界的極坐標(biāo)方程較直角坐標(biāo)方程簡單，則選極坐標(biāo)系，若被積函數(shù)為“f(x^2+ y^2)”的形式，也選極坐標(biāo)系。

　　若選擇了極坐標(biāo)系，那接下來干什么?要選擇積分次序嗎?不用選，肯定是先對r積分后對角度積分，另一種次序的積分幾乎沒出現(xiàn)過。再往后就是定限了。極坐標(biāo)系下定限可以簡單概括為：從原點出發(fā)畫一條射線穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個交點，這兩個交點的r坐標(biāo)即為第一次積分的積分上下限(把交點的r坐標(biāo)用角度表示)。接下來，讓剛才畫的這條射線繞著原點旋轉(zhuǎn)，直到與積分區(qū)域的邊界相切，這兩條切線對應(yīng)的角度即為第二次積分的積分上下限。

　　若選擇了直角坐標(biāo)系，那接下來要選擇積分次序。又涉及到選擇了，當(dāng)然是一看積分區(qū)域，二看被積函數(shù)�？捶e分區(qū)域的原則是避免分類討論，看被積函數(shù)的原則是讓第一次積分簡單。次序選完后，就進(jìn)入到收官階段——定限了。直角坐標(biāo)系下定限可以簡單概括為：先對誰積分就畫一條平行于哪個坐標(biāo)軸的直線，穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個交點。這兩個交點就對應(yīng)著第一次積分的積分上下限。接下來，讓剛才畫的這條直線平行移動，直到與積分區(qū)域的邊界相切。這兩條切線就對應(yīng)著第二次積分的積分上下限。

　　五、冪級數(shù)求和、展開

　　處理此類問題可以從兩方面把握：工具和思路。

　　工具包括一般函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)、常見函數(shù)的泰勒級數(shù)和逐項求導(dǎo)、積分定理。把這三部分內(nèi)容理解到位是處理求和、展開問題的前提。

　　函數(shù)展開成冪級數(shù)有兩種方法：直接法和間接法。絕大部分真題用的是間接法。所謂間接法，即記住常用函數(shù)的泰勒展開公式，然后看題目所給函數(shù)跟哪個公式像，則朝該公式的方向變形。變形的方式包括基本變形(如裂項)和求導(dǎo)、求積。后一種變形方式考頻更高。此種變形也可以這么理解：題目所給函數(shù)直接套公式不行，也不能通過基本變形后套公式，那就考慮求導(dǎo)數(shù)或求積分，把運算后的函數(shù)套公式展開成冪級數(shù)，然后做逆運算還原。

　　冪級數(shù)求和實質(zhì)是函數(shù)展開成冪級數(shù)的逆過程，類似考慮即可。

　　六、經(jīng)濟應(yīng)用(數(shù)三)

　　經(jīng)濟應(yīng)用包括三方面的內(nèi)容：最值問題、邊際問題和彈性問題。最值問題需熟悉經(jīng)濟學(xué)中常用量(收益、利潤、成本、價格和銷量)的關(guān)系，據(jù)此寫出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而化為普通的高數(shù)的最值問題;“邊際”對應(yīng)“導(dǎo)數(shù)”，如邊際利潤即利潤函數(shù)L(Q)的導(dǎo)數(shù);彈性需記清需求彈性的基本公式。

　　七、多元積分(數(shù)一)

　　多元積分是數(shù)一的必考題型，平均每年一道大題，一道小題。該部分內(nèi)容包括三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲面積分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。主要考計算。

　　在基礎(chǔ)階段，考生需分清這幾種積分和幾大公式，重點把握計算方法。

　　三重積分看成二重積分的推廣，計算方法是化成三次定積分(或一次定積分和一次二重積分)。具體的計算方法有三種：“先一后二”、“先二后一”和球坐標(biāo)。

　　第一類曲線積分計算方法可概括為“帶入、定限”。對稱性化簡類似于重積分。

　　第二類曲線積分計算方法也可概括為“帶入、定限”，不過定限時不同于第一類曲線積分的“從小到大”，而是“從起點到終點”。當(dāng)然，此種類型積分的更重要的計算方法是利用格林公式。從考試的角度，此部分的重點在于格林公式、與此有關(guān)的積分與路徑無關(guān)和二元函數(shù)的全微分。

　　第一類曲面積分計算方法可概括為“帶入、投影”。對稱性化簡類似于重積分。

　　第二類曲面積分計算方法也可概括為“帶入、投影”，不過投影時須考慮方向。從考試的角度，此部分的重點在于高斯公式。

　　斯托克斯公式本身形式較復(fù)雜，考試要求不高：記清基本公式，弄清何時用即可。計算第二類曲線積分，積分曲線不易參數(shù)化時，考慮此公式。

　　最后，再提醒考生一句：抓重點與打牢基礎(chǔ)并不矛盾，不是相互排斥的關(guān)系。只有在打牢基礎(chǔ)的前提下，抓住重點，才能起到點睛的效果。祝2017的考生開局順利!