線代復(fù)習(xí)重點(diǎn)解析之——向量和線性方程組

　　一、考情分析篇

　　通過對(duì)比較近幾年考研數(shù)學(xué)真題以及學(xué)生考研分?jǐn)?shù)的分析和總結(jié)，跨考教育數(shù)學(xué)教研室李老師發(fā)現(xiàn)：首先，線性代數(shù)的得分率總體要比高等數(shù)學(xué)和概率論高5%左右;其次，在對(duì)考研學(xué)生的調(diào)查中，70%以上的學(xué)生認(rèn)為線性代數(shù)試題難度低，容易取得高分;再次，線性代數(shù)側(cè)重的是方法的考查，考點(diǎn)比較明確，系統(tǒng)性更強(qiáng)。

　　考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)相比較高等數(shù)學(xué)和概率論而言，呈現(xiàn)明顯不同的學(xué)科特點(diǎn)——概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容縱橫交錯(cuò)以及知識(shí)點(diǎn)前后緊密聯(lián)系。如果說高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)算“條”的話，那么概率論就應(yīng)該算“塊”，而線性代數(shù)就是“網(wǎng)”!具體來看，線性代數(shù)這整張網(wǎng)，又是由行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量以及二次型這6張小網(wǎng)相互交叉聯(lián)結(jié)而成。而其中向量和線性方程組這兩張網(wǎng)又在其中起著承前啟后、上下銜接的關(guān)鍵作用。

　　由以上的分析，大家不難發(fā)現(xiàn)——向量和線性方程組是線性代數(shù)的重難點(diǎn)內(nèi)容，也是考研的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。而這點(diǎn)也可以從歷年真題的出題規(guī)律上得到驗(yàn)證。

　　關(guān)于第三章向量，無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是考察向量組的線性表示就是向量組的線性相關(guān)性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題。

　　關(guān)于第四章線性方程組，06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題。

　　二、重點(diǎn)分析篇

　　考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)暑期強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段重點(diǎn)應(yīng)放在充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號(hào)意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法上，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通，舉一反三。為了讓大家在暑期復(fù)習(xí)中能將線性代數(shù)提高到“心中有劍，手中亦有劍”的層次，跨考數(shù)學(xué)教研室名師在這里總結(jié)了向量和線性方程組的幾種核心題型與解決方法，供同學(xué)們參照復(fù)習(xí)。

　　1、向量——理解相關(guān)無關(guān)概念，靈活進(jìn)行判定。

　　向量組的線性相關(guān)問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點(diǎn)。如何掌握這部分內(nèi)容呢?首先在于對(duì)定義、性質(zhì)和定理的理解，然后就是分析判定的關(guān)鍵在于：看是否存在一組不全為零的實(shí)數(shù)。

　　這部分題型有如下幾種：判定向量組的線性相關(guān)性、向量組線性相關(guān)性的證明、判定一個(gè)向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題、與向量空間有關(guān)的命題(數(shù)一)。

　　要判斷(證明)向量組的線性相關(guān)性(無關(guān)性)，首先會(huì)考慮用定義法來做，其次會(huì)用向量組的線性相關(guān)性(無關(guān)性)的一些重要性質(zhì)和定理結(jié)合反證法來做。同時(shí)會(huì)考慮用向量組的線性相關(guān)性(無關(guān)性)與齊次線性方程組有非零解(只有零解)之間的聯(lián)系和用矩陣的秩與向量組的秩之間的聯(lián)系來做。

　　2、線性方程組——解的結(jié)構(gòu)和(不)含參量線性方程組的求解。

　　要解決線性方程組解的結(jié)構(gòu)和求法的問題，首先應(yīng)考慮線性方程組的基礎(chǔ)解系，然后再利用基礎(chǔ)解系的線性無關(guān)性、與矩陣的秩之間的聯(lián)系等一些重要性質(zhì)來解決線性方程組解的結(jié)構(gòu)和含參量的線性方程組解的討論問題，同時(shí)用線性方程組解結(jié)構(gòu)的幾個(gè)重要性質(zhì)求解(不)含參量線性方程組的解。

　　具體來看，線性方程組的題型主要有如下幾種：齊次線性方程組有非零解、非齊次線性方程組解的判定及解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明以及帶參數(shù)的線性方程組的解的情況。相應(yīng)題型的處理方法可參照下圖。

　　3、向量和線性方程組的聯(lián)系