破解考研數(shù)學(xué)重災(zāi)區(qū)：中值定理證明思路小結(jié)

　　還有不到40天就到了2016考研初試的時(shí)間了，為了讓學(xué)生能夠更好地應(yīng)對(duì)考研，本文將討論一下中值定理這塊的相應(yīng)證明題的一般解題思路。

　　中值定理這塊一直都是很多考生的"災(zāi)難區(qū)"，一直沒(méi)有弄清楚看到一個(gè)題目到底怎么思考處理，因此也是考研得分比較低的一塊內(nèi)容，如果考生能把中值定理的證明題拿下，那么我們就會(huì)比其他沒(méi)做上的同學(xué)要高一個(gè)臺(tái)階，也可以說(shuō)這是一套"拉仇恨"的題目。下面跨考教育數(shù)學(xué)教研室佟老師就和大家來(lái)一起分析一下這塊內(nèi)容。

　　一、具體考點(diǎn)分析

　　首先我們必須弄清楚這塊證明需要的理論基礎(chǔ)是什么，相當(dāng)于我們的工具，那需要哪些工具呢?

　　第一：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

　　比較值定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的必有比較大值和比較小值。

　　推論：有界性(閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)必有界)。

　　介值定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)在比較大值和比較小值之間中任意一個(gè)數(shù)，都可以在區(qū)間上找到一點(diǎn)，使得這一點(diǎn)的函數(shù)值與之相對(duì)應(yīng)。

　　零點(diǎn)定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)，區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)相異，則區(qū)間內(nèi)必有一點(diǎn)函數(shù)值為零。

　　第二：微分中值定理(一個(gè)引理，三個(gè)定理)

　　費(fèi)馬引理：函數(shù)f(x)在點(diǎn)ξ的某鄰域U(ξ)內(nèi)有定義，并且在ξ處可導(dǎo)，如果對(duì)于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。

　　羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：

　　(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

　　(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

　　在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b

　　那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ，使得 f?(ξ)="0.

　　幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧 (方程為 )是一條連續(xù)的曲線弧 ，除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等。而定理結(jié)論表明：

　　弧上至少有一點(diǎn) ，曲線在該點(diǎn)切線是水平的。

　　拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：

　　(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

　　(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

　　在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，

　　那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

　　加強(qiáng)版：如果函數(shù) f(x) 在積分區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則在 (a, b)上至少存在一個(gè)點(diǎn) ξ，使下式成立

　　第四：變限積分求導(dǎo)定理： 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分變上限函數(shù)在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)，并且導(dǎo)數(shù)為：

　　第五：牛頓--萊布尼茨公式：如果函數(shù)f(x) 在區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，并且存在原函數(shù)F(x) ，則

　　以上定理要求理解并掌握定理內(nèi)容和相應(yīng)證明過(guò)程。

　　二、注意事項(xiàng)

　　針對(duì)上文中具體的考點(diǎn)，佟老師再給出幾點(diǎn)注意事項(xiàng)，這幾個(gè)注意事項(xiàng)也是在證明題中的"小信號(hào)"，希望大家理解清楚并掌握：

　　1. 所有定理中只有介值定理和積分中值定理中的ξ所屬區(qū)間是閉區(qū)間。

　　2. 拉格朗日中值定理是函數(shù)f(x)與導(dǎo)函數(shù)f'(x)之間的橋梁。

　　3. 積分中值定理是定積分與函數(shù)之間的橋梁。

　　4. 羅爾定理和拉格朗日中值定理處理的對(duì)象是一個(gè)函數(shù)，而柯西中值定理處理的對(duì)象是兩個(gè)函數(shù)，如果結(jié)論中有兩個(gè)函數(shù)，形式與柯西中值定理的形式類似，這時(shí)就要想到我們的柯西中值定理。

　　5. 積分中值定理的加強(qiáng)版若在定理證明中應(yīng)用，必須先證明。

　　其次對(duì)于中值定理證明一般分為兩大類題型：第一應(yīng)用羅爾定理證明，也可又分為兩小類：證明結(jié)論簡(jiǎn)單型和復(fù)雜型，簡(jiǎn)單型一般有證明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k為任意常數(shù))，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，

　　像這樣的結(jié)論一般只需要找羅爾定理的條件就可以了，一般羅爾定理的前兩個(gè)條件題目均告知，只是要需找兩個(gè)不同點(diǎn)的函數(shù)值相等，需找此條件一般會(huì)運(yùn)用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、積分中值定理、拉格朗日中值定理、極限的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)。復(fù)雜型就是結(jié)論比較復(fù)雜，需要建立輔助函數(shù)，再使輔助函數(shù)滿足羅爾定理的條件。輔助函數(shù)的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在兩個(gè)點(diǎn)使之滿足某表達(dá)式。這樣的題目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，處理思想把結(jié)論中相同字母放到等是一側(cè)首先處理。

　　比較后希望同學(xué)們仔細(xì)研究這塊內(nèi)容的歷年真題，通過(guò)研究真正的把處理方法轉(zhuǎn)化為自己的，跨考教育祝大家考研成功!