歐拉發(fā)現(xiàn)在多面體的頂點、邊與面的數(shù)目間存在著一種簡單的關(guān)系，這種關(guān)
系被視為圖論（graph theory）中相當重要的定理。

    你現(xiàn)在應(yīng)該可以自己敘述歐拉關(guān)系了�？纯创岁P(guān)系是否也能適用于其他的多
面體，檢驗一下你的推論。

    當時歐拉認為這只是多面體的性質(zhì)，但后來數(shù)學家發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系也能適用于
球面或平面上的網(wǎng)絡(luò)。

    考慮如圖1 的網(wǎng)絡(luò)。其中有3 個結(jié)點A 、B 、C ，4 條弧p 、q 、r 、s ；
這個網(wǎng)絡(luò)把平面分成3 個區(qū)域1 、2 、3.這些數(shù)目滿足下列關(guān)系：

    N-A+R=2

    N 為結(jié)點的數(shù)目，A 為弧的數(shù)目，R 為區(qū)域的數(shù)目。你覺得這與多面體的關(guān)
系是否有什么類似之處？

    現(xiàn)在把上述的關(guān)系式用在其他的網(wǎng)絡(luò)上，試試結(jié)果如何。

    你是否試過圖2 中不相連的網(wǎng)絡(luò)？

    你應(yīng)該會發(fā)現(xiàn)，上述的關(guān)系式需要視網(wǎng)絡(luò)中分離部分的數(shù)目作修正�？纯茨�
是否能找到一個公式，不管網(wǎng)絡(luò)中到底有多少部分，都能成立。

    “歐拉關(guān)系”與“網(wǎng)絡(luò)關(guān)系”之間的聯(lián)系可以用圖3 說明。

    想象一下，用具有彈性的材料做一個立方體，可以如圖3 的方式伸展，然后
壓平，成為平面上的網(wǎng)絡(luò)。原來立方體的每一個頂點現(xiàn)在都成為網(wǎng)絡(luò)中的結(jié)點，
原來立方體的每一條邊現(xiàn)在則成為網(wǎng)絡(luò)中的一條弧。

    立方體的每一面現(xiàn)在都成為平面中的一個區(qū)域，只除了ABCD之外，不過也可
以把ABCD看成是代表網(wǎng)絡(luò)外部的區(qū)域。所有多面體以這種方式變換都可得到類似
的結(jié)果，但要注意的是，對有洞的多面體需要做進一步的考察。

    如果將多面體看作是三維空間分隔成不同區(qū)域，則對歐拉的關(guān)系式還可以作
進一步推廣。

    考慮一下最簡單的多面體——四面體（圖4 ）。

    四面體將空間分成兩個區(qū)域，且

    V-E+F-R=4-6+4-2=0

    其中V 、E 、F 各代表多面體的頂點、邊與面的數(shù)目，R 為區(qū)域的數(shù)目�，F(xiàn)
在在立方體上加一個金字塔形的角錐體。這種組合將空間分成3 個區(qū)域，包括9
個頂點、16條邊與10個面（圖5 ）。

    我們再度得出

    V-E+F-R=0

    這是由歐拉原始的關(guān)系式推廣得出的另一個關(guān)系式。用其他的方法分割空間，
檢驗一下這個關(guān)系式。