一次數(shù)學(xué)競賽，準(zhǔn)備了35支鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給獲得一、二、三等獎(jiǎng)的同學(xué)。

    原打算發(fā)給每個(gè)獲一等獎(jiǎng)的人6 支鉛筆，發(fā)給每個(gè)獲二等獎(jiǎng)的人3 支鉛筆，
發(fā)給每個(gè)獲三等獎(jiǎng)的人2 支鉛筆。后來改為發(fā)給每個(gè)獲一等獎(jiǎng)的人13支鉛筆，發(fā)
給每個(gè)獲二等獎(jiǎng)的人4 支鉛筆，發(fā)給每個(gè)獲三等獎(jiǎng)的人1 支鉛筆。那么，在這次
數(shù)學(xué)競賽中獲得一、二、三等獎(jiǎng)的各有多少人？

    分析與解由題意可以知道，這次數(shù)學(xué)競賽獲得一、二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)總和前
后是不變的。盡管改變了發(fā)獎(jiǎng)辦法，但是獎(jiǎng)品總數(shù)還是35支鉛筆。

    根據(jù)“后來發(fā)給每個(gè)獲一等獎(jiǎng)的人13支鉛筆”可以得出，獲一等獎(jiǎng)的只能是
2 人或者是1 人，要是3 人，那么35支鉛筆只發(fā)給獲一等獎(jiǎng)的都不夠。

    假設(shè)獲一等獎(jiǎng)的是2 人，按改變后的發(fā)獎(jiǎng)方案，這2 人共得到26支鉛筆，還
剩下35-26=9 支鉛筆，發(fā)給獲二、三等獎(jiǎng)的同學(xué)。假設(shè)獲二等獎(jiǎng)的也是2 人，每
人發(fā)4 支鉛筆后還剩9-4 ×2=1 支鉛筆，那么這1 支鉛筆只能發(fā)給獲三等獎(jiǎng)的1
人。

    用原來的發(fā)獎(jiǎng)方案驗(yàn)算一下，獲一等獎(jiǎng)的有2 人，要發(fā)給12支鉛筆，獲二等
獎(jiǎng)的有2 人，要發(fā)給6 支鉛筆，這時(shí)還剩下35—12—6=17支鉛筆。獲三等獎(jiǎng)的有
1 人，每人要發(fā)2 支鉛筆，這樣就會(huì)剩下15支鉛筆。顯然，獲一等獎(jiǎng)的不是2 人，
獲二等獎(jiǎng)的也不是2 人，獲三等獎(jiǎng)的更不是1 人了。

    假設(shè)獲二等獎(jiǎng)的是1 人，這樣還剩下9 —4=5 支鉛筆發(fā)給獲三等獎(jiǎng)的同學(xué)，
那么獲三等獎(jiǎng)的就是5 人。這樣按原方案發(fā)獎(jiǎng)后還要剩下35—6 ×2 —3 —2 ×
5=10支鉛筆。由此可見，獲一等獎(jiǎng)的不可能是2 人。

    既然獲一等獎(jiǎng)的不是2 人，那么獲一等獎(jiǎng)的肯定是1 人了。按照后來的發(fā)獎(jiǎng)
方案發(fā)給獲一等獎(jiǎng)的1 人13支鉛筆后，還剩下35-13=22支鉛筆，要發(fā)給獲得二、
三等獎(jiǎng)的同學(xué)，這樣可以算出獲二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)如下表。

    再用原定的發(fā)獎(jiǎng)方案驗(yàn)證一下，獲一等獎(jiǎng)的有1 人，這樣還剩下35—6=29支
鉛筆，要發(fā)給獲得二、三等獎(jiǎng)的同學(xué)。按照上表獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)，看看獲得三
等獎(jiǎng)的有幾人。結(jié)果如下表。

    比較上面兩表就可得出，獲得二等獎(jiǎng)的有3 人，獲得三等獎(jiǎng)的有10人。

    答：在這次數(shù)學(xué)競賽中，獲一等獎(jiǎng)的有1 人，獲二等獎(jiǎng)的有3 人，獲三等獎(jiǎng)
的有10人。