1、集合的概念

    集合是數(shù)學中最重要的概念，是整個數(shù)學的基礎。我印象中，集合的定義是：集合是具有相同性質(zhì)的元素的集體。這個定義屬于循環(huán)定義，因為集體就是集合。我的理解是：把一些互不相同的東西放在一起，就組成一個集合。唯一的要求是“互不相同”。集合中的元素可以是毫不相干的。元素可以是個體，也可以是一個集合， 比如1，2，{1，2}就構成一個集合，集合中有三個元素，兩個是個體，一個是集合。元素可以是數(shù)對，（x，y）是一個數(shù)對，代表二維坐標系中的一個點。如果集合中的元素沒有共同的特征，要完整地描述一個集合，我們被迫列出集合中的每一個元素，如{一陣風，一匹馬，一頭牛}；如果存在相同的特征，描述就簡單多了，如{所有正整數(shù)}、{所有英國男人}、{所有四川的下過馬駒的紅色的母馬}，不用一一列舉。區(qū)間是特殊的集合，專門用來表示某些連續(xù)的實數(shù)的集合。集合在邏輯中的應用也十分廣泛，學好了集合，數(shù)學和邏輯都能提高，起到“兩個男人并排坐在石頭上”的作用。

    集合中元素的個數(shù)是集合的重要特征。如果兩個集合的元素能有一一對應的關系，那么這兩個集合元素的個數(shù)就是相等的。在我們平時數(shù)物品的數(shù)量時，說1，2，3，4，5，一共有5個，這時我們就是在把物品的集合與集合（1，2，3，4，5）建立一一對應的關系，正是因為物品數(shù)量與集合（1，2，3，4，5）的元素個數(shù)相等，所以我們才說物品共有5個。集合分為有限集合和無限集合，元素的個數(shù)一般是針對有限集合說的。對無限集合來說，有很多不同之處。比如{所有的正整數(shù)}與{所有的正偶數(shù)}，后者只是前者的一個子集，但兩者存在一一對應的關系，因此元素個數(shù)“相等”。而{所有整數(shù)}與{所有實數(shù)}則不可能建立一一對應的關系，因為它們的無限的級別是不同的。對兩個無限集合，我們只強調(diào)是否能一一對應，不說元素個數(shù)是否相等。

    兩個集合有交集和并集的關系。交集是同時在兩個集合中的所有元素的集合，例如{中國人}交{男人}={中國男人}，{韓國俊男}交{韓國美女}={河利秀}.并集是在其中任一個集合中的所有元素的集合。因為集合中的元素不能重復，所以取并集時要去掉重復了的元素，A并B的元素個數(shù)=A的元素個數(shù)+B的元素個數(shù)-A交B的元素個數(shù)。

    2、函數(shù)的概念

    如果集合A中的每一個元素，按照某種對應關系，在集合B中都有唯一的對應元素，那么這種對應關系被稱為A到B的函數(shù)。例如Y=2X，Y=X^2都建立了{全體實數(shù)}到{全體實數(shù)}的函數(shù)關系，如果用f代表對應關系，則函數(shù)表述為：f（x）=2x， f（x）=x^2. 如果A中的某些元素，不能對應B中唯一的元素，則不存在函數(shù)關系。比如{所有小偷}與{所有失主}，因為某些小偷偷過很多不同失主的東西。

    函數(shù)的定義域和值域。MBA數(shù)學只考慮實數(shù)。所有能使函數(shù)有意義的實數(shù)的集合，構成函數(shù)的定義域，即上面的集合A.F（X）=X^（1/2）定義域為{X/ X>=0}，F(xiàn)（X）=1/X定義域為{X/ X<>=0}，F(xiàn)（X）=LN（X）定義域為{X/ X>0}.如果函數(shù)中同時包括幾類簡單函數(shù)，則定義域是各類函數(shù)定義域的交集。定義域按照對應關系，能對應的所有實數(shù)的集合，構成函數(shù)的值域。定義域、對應關系、值域，三者構成一個函數(shù)。

    定義域中的每一個元素，與其在值域中對應的元素，組成一個數(shù)對，由二維坐標系中的一個點來表示。所有這樣的點形成了函數(shù)的圖象。圖象能直觀地表現(xiàn)函數(shù)的對應關系，大家應該熟悉冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的基本圖象。要求高的同學可以進一步掌握圖象的平移、反射、旋轉(zhuǎn)。

    奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義不說了，要注意的是奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必須關于原點對稱。F（X）=X，X為任意實數(shù) 是奇函數(shù)，如果限定X屬于[-3，5]，那函數(shù)就不是奇函數(shù)了。

    反函數(shù)。如果集合A中的每一個元素，按照某種對應關系，在集合B中都有唯一的對應元素；而B中的每一個元素，在A中都有唯一的元素與之對應。則A到B的對應關系是可逆的，A到B的對應關系是原函數(shù)，B到A的對應關系是反函數(shù)。對于連續(xù)的函數(shù)來說，只有絕對增函數(shù)或絕對減函數(shù)，才存在反函數(shù)，否則A中必有兩個元素，在B中對應同一元素。對于不連續(xù)的函數(shù)則沒有上述限制。

    復合函數(shù)。集合A中的元素，按一種函數(shù)對應到集合B，B中的相應元素，再按另一種函數(shù)對應到集合C，最后形成集合A到集合C的對應關系，稱為復合函數(shù)。

    3、數(shù)列的概念

    數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域為全體或部分自然數(shù)。數(shù)列的通項公式A（N）就是一個函數(shù)，求出通項公式，等于求出了數(shù)列的任一項。數(shù)列的前N項和S（N）（N=1，2，……）構成了一個新的數(shù)列，知道S（N）的公式，通過A（1）=S（1），A（N）=S（N）-S（N-1）就能求出原數(shù)列的通項公式。

    MBA數(shù)學主要考察等差數(shù)列和等比數(shù)列。有些數(shù)列不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，但經(jīng)過改造后可構造出等差數(shù)列或等比數(shù)列，如A（1）=1，A（N+1）=2A（N）+1.這個數(shù)列的每一項都加上1，就成為等比數(shù)列了，通項公式為2^N，因此原數(shù)列通項公式為：A（N）=2^N-1其他常見的數(shù)列包括A（N）=N^3， A（N）=N！/（N-K）！，A（N）=1/[N（N-1）]等，都有相應的辦法能處理。

    4、排列、組合、概率的概念

    排列、組合、概率都與集合密切相關。排列和組合都是求集合元素的個數(shù)，概率是求子集元素個數(shù)與全集元素個數(shù)的比值。

    以最常見的全排列為例，用S（A）表示集合A的元素個數(shù)。用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數(shù)字不重復的九位數(shù)，則每一個九位數(shù)都是集合A的一個元素，集合A中共有9！個元素，即S（A）=9！

    如果集合A可以分為若干個不相交的子集，則A的元素等于各子集元素之和。把A分成各子集，可以把復雜的問題化為若干簡單的問題分別解決，但我們要詳細分析各子集之間是否確無公共元素，否則會重復計算。

    集合的對應關系兩個集合之間存在對應關系（以前學的函數(shù)的概念就是集合的對應關系）。如果集合A與集合B存在一一對應的關系，則S（A）=S（B）。如果集合B中每個元素對應集合A中N個元素，則集合A的元素個數(shù)是B的N倍（嚴格的定義是把集合A分為若干個子集，各子集沒有共同元素，且每個子集元素個數(shù)為N，這時子集成為集合A的元素，而B的元素與A的子集有一一對應的關系，則S（A）=S（B）*N例如：從1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取六個數(shù)，問能組成多少個數(shù)字不重復的六位數(shù)。

    集合A為數(shù)字不重復的九位數(shù)的集合，S（A）=9！

    集合B為數(shù)字不重復的六位數(shù)的集合。

    把集合A分為子集的集合，規(guī)則為前6位數(shù)相同的元素構成一個子集。顯然各子集沒有共同元素。每個子集元素的個數(shù)，等于剩余的3個數(shù)的全排列，即3！

    這時集合B的元素與A的子集存在一一對應關系，則S（A）=S（B）*3！

    S（B）=9！/3！

    組合與排列的區(qū)別在于，每一個組合中的各元素是沒有順序的。無論這些元素怎樣排列，都只當作一種組合方式。所以在計算組合數(shù)的時候，只要分步，就意味有次序。取N次，N件物品的N！種排列方式都會被當作不同選法，該選法就重復計了N！次。比如10個球中任取三個球，取法應該是C（10，3），但如果先從10個中取一個，得C（10，1），再從9個中取一個得C（9，1），再從8個中取一個得C（8，1），再相乘結果成了P（10，3），結果增大了3！倍。

    概率的概念。在有限集合的情況下，概率是子集元素個數(shù)與全集元素個數(shù)的比值。在無限集合的情況下，概率是代表子集的點的面積與代表全集的點的面積的比值。

    概率分布函數(shù)可以描述概率分布的全貌。離散型的概率分布是一組數(shù)列，計算事件發(fā)生的概率、數(shù)學期望和方差都使用數(shù)列的計算方法。連續(xù)型的概率分布是一個函數(shù)， 它等于概率密度函數(shù)的積分，計算事件發(fā)生的概率、數(shù)學期望和方差都使用積分的計算方法。

    概率的概念不難理解，解題能力決定于對數(shù)列和積分中的方法掌握的熟練程度。

    理解了基本概念，對基本數(shù)學方法就更容易掌握。

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