2017考研數(shù)學(xué):兩種向量運(yùn)算的分析比較

    在客觀世界中，有些量是既有大小、又有方向的，比如物體運(yùn)動的速度、加速度、位移、作用力等，這樣的量稱之為向量。在考研數(shù)學(xué)一的考試范圍中，有一章是“向量代數(shù)和空間解析幾何”，其中包含向量的兩種運(yùn)算，一個叫向量的數(shù)量積，另一個叫向量的向量積，這兩種運(yùn)算在多元函數(shù)的微分及曲線積分和曲面積分中也會用到，為了使大家對這兩種向量運(yùn)算理解并掌握好，下面文都考研蔡老師對其做些分析比較，供考研數(shù)學(xué)一的同學(xué)參考。

　　一、兩種向量運(yùn)算的定義

　　兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，在幾何上，兩個向量垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零;在物理意義上，數(shù)量積表示常力所做的功;

　　兩個向量的向量積是一個向量，其長度(模)在幾何意義上表示平行四邊形的面積，其物理意義表示力作用于杠桿上一點(diǎn)所產(chǎn)生的力矩。

　　二、兩種向量運(yùn)算的性質(zhì)比較

　　1. 兩種向量運(yùn)算的性質(zhì)比較

　　從上面的分析我們看到，數(shù)量積是一個數(shù)，而向量積是一個向量，它們分別具有不同的幾何意義和物理意義，二者結(jié)合在一起就是混合積，混合積也有其幾何意義。數(shù)量積和向量積應(yīng)用于二維和三維向量，對于三維以上的向量，向量積沒有定義，但數(shù)量積可以推廣到一般的n維向量上，具體定義和運(yùn)算性質(zhì)大家可以參考線性代數(shù)中的內(nèi)容。比較后再說明一下，數(shù)量積和向量積只是針對考研數(shù)學(xué)一的考生要求，而數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)三的考試范圍中沒有這些內(nèi)容。