2017考研數(shù)學(xué)：高數(shù)框架梳理

第一單元 微分學(xué)（包括極限、連續(xù)性、微分學(xué)）

　　A. 基本內(nèi)容

　　一、極限

　　1. 極限的概念：（1）一元函數(shù)的極限的定義 （2）二元函數(shù)的二重極限的定義

　　2. 極限的運(yùn)算法則

　　3. 無(wú)窮�。海�1）定義 （2）性質(zhì) （3）極限與無(wú)窮小的關(guān)系 （4）無(wú)窮小的比較

　　4. 無(wú)窮大

　　5. 極限的求法：十二種方法

　　二、連續(xù)性

　　1. 定義        2. 間斷點(diǎn)的分類

　　3. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)        4. 在閉區(qū)間（域）上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

　　三、導(dǎo)數(shù)與微分

　　1. 導(dǎo)數(shù)的定義：（1）導(dǎo)數(shù) （2）偏導(dǎo)數(shù) （3）方向?qū)��?shù)

　　2. 微分的定義

　　3. 可微的條件

　　四、求導(dǎo)法則

　　1. 和（差）、積、商的求導(dǎo)法則

　　2. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

　　3. 反函數(shù)求導(dǎo)法則

　　五、幾類特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

　　1. 隱函數(shù) 2. 冪指函數(shù) 3. 參數(shù)式

　　六、高階（偏）導(dǎo)數(shù)

　　1. 定義 2. 求法 3. 二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)的條件

　　七、微分中值定理

　　1. 三個(gè)中值定理 2. 泰勒公式

　　B. 知識(shí)關(guān)系圖

　　C. �？純�(nèi)容

　　一、極限的求法 二、無(wú)窮小 三、導(dǎo)數(shù)的定義

　　四、求導(dǎo)法則（一、二階） 五、連續(xù)性        六、中值定理

第二單元 積分學(xué)

　　A. 基本內(nèi)容

　　一、各類積分的定義

　　二、各類積分的性質(zhì)：相同的；不同的

　　三、各類積分的常規(guī)計(jì)算方法

　　1. 不定積分、定積分的換元與分部積分法 2. 重積分：化重積分為累次積分

　　3. 曲線積分：化曲線積分為定積分 4. 曲面積分：化曲面積分為二重積分

　　四、各類積分的特殊計(jì)算方法

　　1. 定積分：奇偶性                        周期性

　　2. 二重積分、三重積分、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分、對(duì)面積的曲面積分：

　�。�1）奇偶性                 （2）輪換對(duì)稱性

　�。�3）重心的公式反用         （4）先二后一法計(jì)算三重積分

　　3. 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

　�。�1）格林公式 （2）斯托克斯公式 （3）與路徑無(wú)關(guān)的積分

　　4. 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：高斯公式

　　B. 各類積分關(guān)系圖

第三單元 級(jí)數(shù)、微分方程

　　A. 基本內(nèi)容

　　一、級(jí)數(shù)

　　1. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

　�。�1）定義 （2）性質(zhì) （3）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法

　　2. 冪級(jí)數(shù)

　　（1）冪級(jí)數(shù)的定義  （2）阿貝爾定理

　�。�3）冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)：逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分  （4）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與區(qū)間

　�。�5）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)   （6）將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

　　3. 傅里葉級(jí)數(shù)

　�。�1）傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù) （2）狄氏定理 （3）正、余弦級(jí)數(shù)

　　二、微分方程及差分方程

　　1. 定義   2. 一階方程  3. 可降階的高階方程

　　4. 線性方程

　　（1）線性方程解的性質(zhì)  （2）齊次線性方程  （3）非齊次線性方程

　　5. 歐拉方程   6. 差分方程

　　B. �？純�(nèi)容

　　一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂      二、冪級(jí)數(shù)

　　三、齊次方程、一階線性方程 、二階常系數(shù)非齊次方程   四、列方程

第四單元 應(yīng)用問(wèn)題

　　一、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

　　1. 單調(diào)性的判別法

　　2. 函數(shù)的極值：

　�。�1）一元函數(shù)、二元函數(shù)的極值的定義；   （2）必要條件；

　　（3）充分條件：①一元函數(shù)：二個(gè)充分條件；②二元函數(shù)   （4）條件極值

　　3. 函數(shù)的比較值

　　4. 曲線的凹凸性和拐點(diǎn)

　　5. 漸近線及作圖

　　6. 切線與法線

　　7. 切線與切平面

第五單元 證明問(wèn)題

　　一、等式的證明方法

　　1. 用介值定理 2. 用中值定理 3. 用泰勒公式

　　4. 用積分法 5. 用積分的性質(zhì) 6. 轉(zhuǎn)換法

　　7. 改變積分次序法

　　二、證明不等式的方法

　　1. 用函數(shù)的單調(diào)性 2. 用中值定理 3. 用泰勒公式

　　4. 用積分的性質(zhì) 5. 轉(zhuǎn)換法 6. 求比較值