《高等代數(shù)》考試內(nèi)容范圍

　　第一章多項(xiàng)式
　　多項(xiàng)式理論自成一體，內(nèi)容豐富。首先要把握多項(xiàng)式代數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)兩個(gè)不同的角度和聯(lián)系。多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算（包括帶余除法）及其引導(dǎo)出的概念性質(zhì)是多項(xiàng)式代數(shù)的內(nèi)容，而多項(xiàng)式的根及重根是多項(xiàng)式函數(shù)的內(nèi)容。兩個(gè)多項(xiàng)式相等的充分必要條件是它們作為函數(shù)相等的。其次要掌握多項(xiàng)式理論中與數(shù)域擴(kuò)充無關(guān)的整除，帶余除法，比較大公因式，互質(zhì)等；而不可約多項(xiàng)式，因式分解等與數(shù)域擴(kuò)充有關(guān)。
　　主要內(nèi)容有：
　　一多項(xiàng)式代數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)
　　二比較大公因式和互質(zhì)及應(yīng)用（與數(shù)域擴(kuò)充無關(guān)的性質(zhì)）
　　三因式分解及應(yīng)用（與數(shù)域擴(kuò)充有關(guān)的性質(zhì)）
　　第二章行列式
　　行列式理論，應(yīng)重點(diǎn)掌握行列式的性質(zhì)并用以計(jì)算行列式，熟練掌握一些基本的計(jì)算方法。
　　主要內(nèi)容有：
　　一行列式的定義與性質(zhì)
　　二行列式的計(jì)算及應(yīng)用
　　第三章矩陣初步
　　掌握矩陣的運(yùn)算（包括轉(zhuǎn)置，方陣的跡）。矩陣的初等變換是矩陣論的核心和精髓，必須很好地領(lǐng)會理解并應(yīng)用。方塊矩陣的初等變換是矩陣的初等變換的延伸，是解決矩陣問題的很好工具。了解Benit-Cauchy公式，它在證明和計(jì)算一些行列式的子式，不等式時(shí)特別有用。
　　主要內(nèi)容有：
　　一矩陣代數(shù)
　　二矩陣的初等變換及應(yīng)用
　　三方塊矩陣的初等變換及應(yīng)用
　　第四章線性空間
　　線性空間是高等代數(shù)的主要研究對象。它體現(xiàn)了代數(shù)學(xué)中研究其它代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本思路。元素之間的研究---線性關(guān)系，包括線性表出，線性相關(guān)和線性無關(guān)，空間的基和坐標(biāo)，基之間的過渡矩陣。子結(jié)構(gòu)的研究---子空間和子空間的直和。這是從內(nèi)部來研究代數(shù)結(jié)構(gòu)。下一章將從外部結(jié)構(gòu)來研究代數(shù)結(jié)構(gòu)，這就是線性映射和線性變換。要掌握子空間的和與交的維數(shù)公式在討論子空間分解中的作用。
　　主要內(nèi)容有：
　　一線性空間的定義
　　二向量的線性關(guān)系
　　三子空間與空間直和分解及應(yīng)用

　　第五章線性變換
　　把握用線性映射（變換）的觀點(diǎn)來研究線性空間這條主線。掌握空間線性映射（變換）與線性相關(guān)性和子空間的關(guān)系，特別是由線性映射（變換）導(dǎo)出的兩個(gè)比較重要的子空間---象空間和核空間。掌握由空間的基的象決定線性映射（變換）的辦法。掌握用同構(gòu)的觀點(diǎn)討論線性映射（變換）與矩陣的本質(zhì)聯(lián)系。掌握關(guān)于Im（f）和Ker（f）的維數(shù)公式在子空間分解中的應(yīng)用。
　　主要內(nèi)容有：
　　一線性映射
　　二線性變換
　　三同構(gòu)對應(yīng)及應(yīng)用
　　第六章線性方程組
　　從線性表出和矩陣的秩的觀點(diǎn)來討論線性方程解的存在和解的個(gè)數(shù)，用子空間的觀點(diǎn)來討論線性解的結(jié)構(gòu)。關(guān)注線性方程組的反問題和矩陣方程問題。
　　主要內(nèi)容有：
　　一齊次線性方程組結(jié)構(gòu)及應(yīng)用
　　二非齊次線性方程組結(jié)構(gòu)及應(yīng)用
　　三線性方程組的反問題和矩陣方程
　　第七章矩陣的秩
　　掌握從行列式，相抵標(biāo)準(zhǔn)形，向量，線性空間，線性方程組，線性變換，矩陣分解等各個(gè)角度來理解矩陣的秩。學(xué)會從各個(gè)角度來證明矩陣秩的命題以及矩陣的秩命題在各個(gè)方面的應(yīng)用。
　　主要內(nèi)容有：
　　一矩陣的秩的等價(jià)刻劃
　　二關(guān)于矩陣秩的基礎(chǔ)命題及應(yīng)用
　　三關(guān)于矩陣秩的進(jìn)一步命題及應(yīng)用
　　第八章線性空間同構(gòu)
　　同構(gòu)是代數(shù)學(xué)的基本思想方法。利用同構(gòu)的思想方法掌握矩陣命題和線性變換命題的互相轉(zhuǎn)化。
　　主要內(nèi)容有：
　　一線性空間的同構(gòu)
　　二三種重要的同構(gòu)
　　三命題的互相轉(zhuǎn)化及應(yīng)用

　第九章特征值與特征向量
　　掌握相關(guān)概念，命題，定理中線性變換和矩陣的對應(yīng)。
　　主要內(nèi)容有：
　　一矩陣的特征值與特征向量特征多項(xiàng)式比較小多項(xiàng)式的求法及應(yīng)用
　　二線性變換的特征值與特征向量特征多項(xiàng)式比較小多項(xiàng)式的求法及應(yīng)用
　　三可對角化矩陣（線性變換）的判定、性質(zhì)及應(yīng)用
　　第十章空間分解定理和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形
　　掌握空間分解為特殊的f-不變子空間：根子空間，循環(huán)子空間的直和與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的對應(yīng)，掌握矩陣的特征多項(xiàng)式，比較小多項(xiàng)式，初等因子與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)系。掌握用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形考慮和解決問題的方法。
　　主要內(nèi)容有：
　　一空間分解定理
　　二Jordan標(biāo)準(zhǔn)形
　　三Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法
　　四Jordan標(biāo)準(zhǔn)形應(yīng)用
　　第十一章歐氏空間
　　歐氏空間有內(nèi)積，因而具有度量性質(zhì)：向量的長度，夾角，正交。進(jìn)一步有標(biāo)準(zhǔn)正交基，Schmidt正交化，正交矩陣和正交補(bǔ)空間。掌握歐氏空間的度量性質(zhì)，掌握正交變換，對稱變換及與實(shí)數(shù)域上正交矩陣，對稱矩陣的對應(yīng)關(guān)系。
　　主要內(nèi)容有：
　　一歐氏空間的正交向量
　　二歐氏空間的子空間的正交補(bǔ)
　　三n維歐氏空間的線性變換
　　第十二章二次形
　　掌握二次形化成標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣合同關(guān)系的對應(yīng)結(jié)論。正定二次形是重要的、典型的一類二次形。對于實(shí)對稱矩陣，不但要掌握在合同關(guān)系下的標(biāo)準(zhǔn)形，還要掌握正交相似關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)形。
　　主要內(nèi)容有：
　　一二次形的標(biāo)準(zhǔn)形
　　二二次形正定性的判定及應(yīng)用
　　第十三章等價(jià)關(guān)系與矩陣標(biāo)準(zhǔn)形
　　掌握等價(jià)分類取代表元的思想方法，并用于討論矩陣在各種等價(jià)分類的標(biāo)準(zhǔn)形。同時(shí)要注意在同構(gòu)意義下矩陣命題和線性變換命題的對應(yīng)。
　　主要內(nèi)容有：
　　一等價(jià)關(guān)系與分類
　　二矩陣中常見的幾種等價(jià)關(guān)系及應(yīng)用