高二數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：高二數(shù)學(xué)雙曲線方程典例分析
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雙曲線的幾何性質(zhì)與代數(shù)中的方程、平面幾何的知識(shí)聯(lián)系密切;直線與雙曲線的交點(diǎn)問(wèn)題、弦長(zhǎng)間問(wèn)題都離不開(kāi)一元二次方程的判別式，韋達(dá)定理等;漸近線的夾角問(wèn)題與直線的夾角公式.三角函數(shù)中的相關(guān)知識(shí)，是高考的主要內(nèi)容.
一、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 或 (a、b>0)，通常是利用雙曲線的有關(guān)概念及性質(zhì)再 結(jié)合其它知識(shí)直接求出a、b或利用待定系數(shù)法.
例1 求與雙曲線 有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn) 的雙曲線的共軛雙曲線方程.
解 令與雙曲線 有公共漸近線的雙曲線系方程為 ，將點(diǎn) 代入，得 ，∴雙曲線方程為 ，由共軛雙曲線的定義，可得此雙曲線的共軛雙曲線方程為 .
評(píng) 此例是“求與已知雙曲線共漸近線的雙曲線方程”類型的題.一般地，與雙曲線 有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為 (k?R，且k≠0);有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為 ，本題用的是待定系數(shù)法.
例2 雙曲線的實(shí)半軸與虛半軸長(zhǎng)的積為 ，它的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線 過(guò)F2且與直線F1F2的夾角為 ，且 ， 與線段F1F2的垂直平分線的交點(diǎn)為P，線段PF2與雙曲線的交點(diǎn)為Q，且 ，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求雙曲線的方程.
解 以F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)，F(xiàn)1、F2所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，則所求雙曲線方程為 (a>0，b>0)，設(shè)F2(c，0)，不妨設(shè) 的方程為 ，它與y軸交點(diǎn) ，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，由點(diǎn)Q在雙曲線上可得 ，又 ，
評(píng) 此例用的是直接法.
二、雙曲線定義的應(yīng)用
1、第一定義的應(yīng)用
例3 設(shè)F1、F2為雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2=900，求ΔF1PF2的面積.
2、第二定義的應(yīng)用
例4 已知雙曲線 的離心率 ，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線左支上找到一點(diǎn)P，使 是 P到l的距離d與 的比例中項(xiàng)?
評(píng) 以上二例若不用雙曲線的定義得到焦半徑 、或其關(guān)系，解題過(guò)程將復(fù)雜得多.
三、雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用
例5 設(shè)雙曲線 ( )的半焦距為c，
直線l過(guò)(a，0)、(0，b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到 的距離為 ，
求雙曲線的離心率.
解析 這里求雙曲線的離心率即求 ，是個(gè)幾何問(wèn)題，怎么把題目中的條件與之聯(lián)系起來(lái)呢? 由面積法知ab= ，考慮到 ，
知 即 ，亦即 ，注意到a<>
四、與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題
例6 以動(dòng)點(diǎn)P為圓心的圓與⊙A： 及⊙B： 都外切，求點(diǎn)P的軌跡方程.
解 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，動(dòng)圓半徑為r，由題意知 ， ， .
∴ .∴ ， ，據(jù) 雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，方程為 ： .
例 7 如圖2，從雙曲線 上任一點(diǎn)Q引直線 的垂線，垂足為N，求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程.
解析 因點(diǎn)P隨Q的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q在已知雙曲線上，
故可從尋求 Q點(diǎn)的坐標(biāo)與P點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系入手，用轉(zhuǎn)移法達(dá)到目的.
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ，
則 N點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
∵點(diǎn) N在直線 上，∴ ……①
又∵PQ垂直于直線 ，∴ ，
即 ……②
聯(lián)立 ①、②解得 .又∵點(diǎn)N 在雙曲線 上，
即 ，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)P的軌跡方程為： .
五、與雙曲線有關(guān)的綜合題
例8 已知雙曲線 ，其左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線l過(guò)其右焦點(diǎn)F2且與雙曲線 的右支交于A、B兩點(diǎn)，求 的最小值.
�、诋�(dāng) 時(shí)，l的方程為 ，∴ ，∴ .
綜①②所述，知所求最小值為 .
經(jīng)過(guò)精心的整理，有關(guān)“高二數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：高二數(shù)學(xué)雙曲線方程典例分析”的內(nèi)容已經(jīng)呈現(xiàn)給大家，祝大家學(xué)習(xí)愉快!
(責(zé)任編輯：彭海芝)
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