3. 乘積矩陣的列向量組和行向量組,
設A是m´n矩陣B是n´s矩陣. A的列向量組為a1, a2,¼ ,an,B的列向量組為b1, b2,¼ ,bs, AB的列向量組為g1, g2,¼ ,gs,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出:
① AB的每個列向量組為gi=Abi,i=1,2,¼,s.
即A(b1, b2,¼ ,bs)= (Ab1,Ab2,¼ ,Abs).
② b=(b1,b2, ¼,bn)T,則Ab= b1a1+b2a2+ ¼+bnan.
應用這兩個性質(zhì)可以得到:
乘積矩陣AB的第i個列向量gi是A的列向量組為a1, a2,¼ ,an的線性組合,組合系數(shù)就是B的第i個列向量bI的各分量.
類似地, 乘積矩陣AB的第i個行向量是B的行向量組的線性組合,組合系數(shù)就是A的第i個行向量的各分量.
以上規(guī)律在一般教材都沒有強調(diào),但只要對矩陣乘法稍加分析就不難看出.然而它們無論在理論上(有助于了解代數(shù)學中各部分內(nèi)容的聯(lián)系)和解題中都是很有用的.請讀者注意例題中對它們的應用.下面是幾個簡單推論.
用對角矩陣L從左側乘一個矩陣,相當于用L的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各行向量; 用對角矩陣L從右側乘一個矩陣,相當于用L的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各列向量.
單位矩陣乘一個矩陣仍等于該矩陣.
數(shù)量矩陣kE乘一個矩陣相當于用k乘此矩陣.
兩個同階對角矩陣的相乘只用把對角線上的對應元素相乘.
求對角矩陣的方冪只需把對角線上的每個作同次方冪.

4. 矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)
(1) 矩陣方程
矩陣不能規(guī)定除法,乘法的逆運算是解下面兩中基本形式的矩陣方程.
(I) AX=B. (II) XA=B.
其中A必須是行列式不等于0的n階矩陣,這樣這兩個方程都是唯一解.
當B只有一列時,(I)就是一個線性方程組.由克萊姆法則知它是唯一解.設B有s列, B=(b1, b2,¼ ,bs),則 X也有s列,記X=(c1, c2,¼,cs).得到Aci=bi,i=1,2, ¼,s,這些方程組都是唯一解,從而AX=B唯一解.這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同時求解,即得
(I)的解法:
將A和B并列作矩陣(A|B),對它作初等行變換,使得A邊為單位矩陣,此時B邊為解X.
(II)的解法:對兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,轉(zhuǎn)置得X..
矩陣方程是歷年考題中常見的題型,但是考試真題往往比較復雜,要用恒等變形簡化為下上基本形式再求解.
(2) 可逆矩陣
定義 設A是n階矩陣,如果存在n階矩陣B,使得AB=E, BA=E,則稱A為可逆矩陣.
此時B是唯一的,稱為A的逆矩陣,通常記作A-1.
矩陣可逆性的判別:
① n階矩陣A可逆Û|A|¹0.
② n階矩陣A和B如果滿足AB=E,則A和B都可逆并且互為逆矩陣.(即 AB=EÛBA=E.)
可逆矩陣有以下性質(zhì):
① 如果A可逆,則
A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1.
AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.
當c¹0時, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.
對任何正整數(shù)k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.
(規(guī)定可逆矩陣A的負整數(shù)次方冪A-k=(Ak)-1=(A-1)k.
② 如果A和B都可逆,則AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.
③ 如果A可逆,則A在乘法中有消去律:
AB=0ÞB=0. BA=0ÞB=0.
AB=ACÞB=C. BA=CAÞB=C.
④ 如果A可逆,則A在乘法中可移動(化為逆矩陣移到等號另一邊):
AB=CÛB=A-1C. BA=CÛB=CA-1.
由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法:
(I) AX=B的解X=A-1B ; (II) XA=B的解X= BA-1.
這種解法自然好記,但是計算量必初等變換法大(多了一次矩陣乘積運算).
(3) 逆矩陣的計算和伴隨矩陣
逆矩陣的計算有兩種方法.
①初等變換法: A-1是矩陣方程AX=E的解,于是對(A|E)用初等行變換把化為E,則E化為A-1.
② 伴隨矩陣法
若A是n階矩陣,記Aij是|A|的(i,j)位元素的代數(shù)余子式,規(guī)定A的伴隨矩陣為
A11 A21 ¼ An1
A*= A12 A22 ¼ An2 =(Aij)T.
¼ ¼ ¼
A1n A2n ¼ Amn
規(guī)定伴隨矩陣不要求A可逆.但是在A可逆時, A*和A-1有密切關系.
基本公式: AA*= A*A= |A|E.
于是對于可逆矩陣A,有
A-1= A*/|A|, 或A*=|A| A-1.
因此可通過求A*來計算A-1.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.
和初等變換法比較, 伴隨矩陣法的計算量要大得多,除非n=2,一般不用它來求逆矩陣.對于2階矩陣
a b * d -b
c d = -c

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