MBA數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大攻略

MBA聯(lián)考中的數(shù)學(xué)是很多考生的“攔路虎”， 尤其是大學(xué)時讀文科，又工作了5年以上的考生，有人甚至因?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)差而打消了考MBA的念頭。其實(shí)，數(shù)學(xué)并沒有那么可怕。首先，MBA的數(shù)學(xué)可以說是研究生考試中難度最低的，比數(shù)學(xué)四簡單多了；其次，數(shù)學(xué)只要學(xué)習(xí)方法得當(dāng)，是可以很快提高的。

                    第一章、心理準(zhǔn)備

   首先要提高自己的自信心。心理因素，對學(xué)習(xí)的效果、考試的成績都有很大影響。抱著必勝的信心去做事，比起帶著懷疑、猶豫不決的態(tài)度做事，效果要好得多。既然決定報考MBA，那說明自己在某些科目上還是有優(yōu)勢的。參加聯(lián)考的人，除少數(shù)人之外，基礎(chǔ)都差不多。雖然我沒有做過詳細(xì)調(diào)查，但知道考上北大的學(xué)生是文理各半的。2002年聯(lián)考狀元張瑞華就是文科生，她針對流傳的“得數(shù)學(xué)者得天下”的說法，提出了“得語文才得天下”的觀點(diǎn)，因?yàn)檎Z文、邏輯、管理、英語都依靠對文字的閱讀理解能力，甚至數(shù)學(xué)也是這樣。所以文科生不用太擔(dān)心數(shù)學(xué)的問題。既然下了決心，就要破釜沉舟，把精力盡量用在備考上，才能考上自己滿意的學(xué)校。多想想自己曾經(jīng)成功的、讓自己得意的事情，包括當(dāng)年考上大學(xué)的經(jīng)過和工作中取得的成就。多想想考上以后，能得到明師指點(diǎn)、能與四方才子交流的樂趣，以及畢業(yè)后能在滿意的職位上施展才華的美好前景。有無足夠的自信心，不僅在聯(lián)考中，而且在人生的每一個階段，都可以決定人的命運(yùn)。  
    其次要端正學(xué)習(xí)態(tài)度。學(xué)習(xí)的目的是獲得知識，無論最終能否考上，我們在備考中數(shù)學(xué)的提高，都可以使我們的數(shù)學(xué)能力遠(yuǎn)高于普通的人，而數(shù)學(xué)能力在管理中有重要的作用。勿以善小而不為，每一點(diǎn)滴的提高今后都會發(fā)揮作用，因?yàn)镸BA的數(shù)學(xué)都是最基礎(chǔ)和最重要的數(shù)學(xué)方法。至于考試成績，主要決定于自己逐漸積累的能力，也受很多臨時因素的影響。所謂“謀事在人，成事在天”，連諸葛亮也沒有必勝的把握，“臣鞠躬盡瘁，死而后已；至于成敗利鈍，非臣之明所能逆睹也。”只要自己盡到了努力，就可以放寬心了，“妹妹你大膽地往前走，往前走莫回頭”。  
    第三是克服畏難情緒。我們都有這樣的感覺：對自己喜歡的或擅長的科目，越學(xué)越有興趣，以至于廢寢忘食；對不喜歡的或覺得難的科目，卻一拿起書就困了，比如文科生之于數(shù)學(xué)、理科生之于英語。因?yàn)槲冯y，所以不學(xué)，越不學(xué)越覺得難。而往往自己覺得最難的，就是學(xué)習(xí)的投入產(chǎn)出比率最高的科目�？朔�畏難情緒，與上面說的端正態(tài)度和提高自信都有關(guān)：抱著學(xué)一點(diǎn)是一點(diǎn)的態(tài)度，相信最終都能學(xué)會。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很差的同學(xué)，一定要參加輔導(dǎo)班，在老師的指引下系統(tǒng)地補(bǔ)習(xí)。很多輔導(dǎo)班的數(shù)學(xué)都是以“零起點(diǎn)”為基礎(chǔ)的，教程的設(shè)計是使同學(xué)能從零到正常。我看過學(xué)校的承諾，這包含了學(xué)校的信心，也說明他們已經(jīng)設(shè)計出對零起點(diǎn)學(xué)生的系統(tǒng)的教學(xué)方法，能使幾乎沒有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)最后得到平均分，要不學(xué)校的損失會很大的。要相信有很多人都站在同一起跑線上，別人能學(xué)會的，自己也能學(xué)會。而一些數(shù)學(xué)很好的人，寫作文比生孩子還難，而且語文依靠多年文化底蘊(yùn)的沉淀，提高更困難，他們也是每天輾轉(zhuǎn)反側(cè)夜不能寐的。在論壇里，有很多朋友一起交流經(jīng)驗(yàn)，各種學(xué)習(xí)的難點(diǎn)都有人介紹好的方法來幫助理解。我也研究過很多“通用解法”，無論水平高低，都可以依法解決某些很難的問題，今后有時間慢慢寫出來。論壇里的其他朋友，尤其是已經(jīng)考上的朋友，可以把自己的經(jīng)驗(yàn)都介紹給大家。我相信，對于并不是很難的MBA數(shù)學(xué)，每個人都可以學(xué)好。在備考中克服困難、超越自我的經(jīng)歷，會成為人生中的一項修煉，在學(xué)習(xí)知識的同時獲得寶貴的經(jīng)驗(yàn)。
    最后是考試中的心態(tài)。養(yǎng)兵千日，用兵一時，最后的臨門一腳起決定作用。我的態(tài)度是，對自己不能改變的事情，想都不用去想，因?yàn)橄肓艘矝]有用，徒亂心爾。幾個月的備考，該學(xué)到什么程度，就是什么程度了；能不能考上，基本已經(jīng)決定了。反而是因?yàn)閾?dān)心考不上、怕努力白費(fèi)、怕不好向家人和單位交待而引起的緊張心情，可能極大地影響考試成績�？荚囍校���“不以物喜，不以己悲”，心中一片空靈，是最好不過的，是非成敗轉(zhuǎn)頭空，青山依舊在，幾度夕陽紅�？荚嚨那耙惶�，不用再復(fù)習(xí)，痛痛快快玩一天；進(jìn)考場之前，多做深呼吸，使自己放松。我從日本人的書中學(xué)過幾招，比如坐在凳子上，想象自己變成了石頭，越來越重，最后手和腳都不能動了�；蛳胂笞约菏且粋�橡皮人，腿上被扎了一個孔，氣漏光了，腿癟下去了，軟軟地貼在床上。然后胳膊、胸腹也都是一樣。這種想象能使自己徹底放松。我在2002年聯(lián)考時的經(jīng)歷對大家可能也有借鑒作用。當(dāng)時在考前一周不慎染上流感，參加考試時高燒近四十度。結(jié)果上來就把自己最擅長的數(shù)學(xué)考砸了，昏昏沉沉的，反應(yīng)格外遲鈍，最后竟有兩道大題沒時間做了，空在那里交卷了�？纪旰蠖加X得絕望了，想放棄，后來想反正就兩天了，考完了拉倒。奇跡發(fā)生了，其余幾門越考越順，一向勉強(qiáng)及格的英語反而考了75分，總分達(dá)到了300分。如果說這是幸運(yùn)和天意，那是老天給了我一個對任何事都滿不在乎且喜歡莫名其妙傻笑的性格。 

                      第二章、提高數(shù)學(xué)的方法 
                      一、提高的是計算速度。

                我看過很多高分得主的經(jīng)驗(yàn)，想法都不謀而合，就是要提高計算的速度。MBA數(shù)學(xué)題量大，計算速度很重要。25道題，如果每道題比別人少花20秒，就能節(jié)約出11分鐘時間，用于攻克難題。因此計算能力不能忽視。計算分為對數(shù)字和對代數(shù)式的計算。平時有意識地訓(xùn)練心算能力、掌握一些速算技巧，能使計算速度提高很多。
1、數(shù)字的計算 

加法和乘法是基礎(chǔ)。
    對于很多數(shù)字相加，列出豎式后先找出相加得10的數(shù)字，進(jìn)位后消掉，再算其他的。 
    對于乘法，我采用的是史豐收的速算法，比如78X56，先用兩個十位數(shù)相乘，兩個個位數(shù)相乘，得3548，再加兩個個位與十位相乘的結(jié)果：70X6+8X50=820，3548+820=4368。對于多位數(shù)乘法，如789X456，不用我們小時候習(xí)慣的算法，而是將在乘積中有相同位置的數(shù)一起算，過程如下： [g{fz3 O6  
        789 .

  X     456 

--------------------

    280000   700X400，萬位數(shù) 

      35000   700X50 
      32000   400X80 ，兩個千位數(shù)

       4200   700X6  

       4000   80X50 
       3600   400X9   ，三個百位數(shù)   
        480   80X6   
        450   50X9     ，兩個十位數(shù)   
        54     9X6     ，個位數(shù)  
---------------------------- x  
        359784  
     這種算法的原理在于，加法比乘法容易，計算過程中不用反復(fù)進(jìn)位，而是最后全部相加。   
    常用的速算公式：   
     25X4=100， 25X8=200，125X4=500，125X8=1000， 7X11X13=1001，37X3=111   
     而127X4=125X4+2X4=508， 129X8=125X8+4X8=1032，37X27=37X3X9=111X9=999   
     1MX1N=（1M+N）X10+MXN，如17X18等于17+8=25，25X10=250，250+56=306   
     M5的平方=MX（M+1）X100+25，如65的平方等于6X7=42，42X100+25=4225   
     利用平方差： （A+B）X（A-B）=A^2-B^2， 

   如29X31=30X30-1=899，37X33=35X35-4=1221    
   2 的倍數(shù)乘以5的倍數(shù)， 前者除以2，后者乘以2，然后再相乘，

如 3 4X15=17X30=510 
2、代數(shù)式的計算 
   與多位數(shù)的乘法相似，找出相同次數(shù)的項一起計算，我一般不用列豎式，直接寫出結(jié)果。如  
(4A^2+3A+6)X(5A^2-7A-3) b&s"/Y89  
=4X5A^4+(-7X4+3X5)A^3+(-3X4-7X3+5X6)A^2+(-3X3-6X7)A-3X6 a=  
=20A^4-13A^3-3A^2-51A-18   
   數(shù)字不復(fù)雜時，上式的第二步可全部用心算，從而一步寫出結(jié)果。   
   另外，要熟練運(yùn)用平方差、立方和、立方差的公式  
   對于計算的準(zhǔn)確性同樣要注意，弄錯加法和乘法、弄錯正負(fù)號在出錯原因中是屢見不鮮的。  
                    二、掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識 
    掌握基礎(chǔ)知識，包括深刻理解基本概念和定理、熟練運(yùn)用基本數(shù)學(xué)方法。MBA數(shù)學(xué)95%以上的題都是考基礎(chǔ)知識。歷屆高分考生都強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識的掌握，試列舉部分觀點(diǎn)：    
 （2002數(shù)學(xué)滿分，陳茲武）對于基本概念力求理解透徹，掌握基本的解題規(guī)律和方法。概念、定義這些東西是構(gòu)件數(shù)學(xué)大廈的基石，其實(shí)到最后的階段有很多人會發(fā)現(xiàn)很多題不會做，就是因?yàn)楦拍畈磺�。更何況，如果你細(xì)心推敲往年考題，你會發(fā)現(xiàn)有些題只能從基本的概念定義出發(fā)才能推出正確的結(jié)果。  
   （2000年狀元，327分，許昕）我認(rèn)為MBA數(shù)學(xué)考題并不很難，把基本要領(lǐng)理解透，應(yīng)付考試足夠了，難題怪題用不著做。做題的目的也在于掌握理解概念和熟悉考試題理，但做得太多了完全沒有必要，太浪費(fèi)時間。數(shù)學(xué)還要注意一個運(yùn)算問題，因?yàn)楹芫貌挥昧�，考試時題量和計算量又很大，就經(jīng)常會出現(xiàn)2+3=6的問題。 
    (復(fù)旦第一，魏春霞，296）我知道自己并不是數(shù)學(xué)天才，所以從不跟難題計較，但是那些基本題目和中等難度的題是一定要做熟的，而且在第一階段就應(yīng)該做到。 由于去年數(shù)學(xué)考試方式變化，我在最后沖刺階段針對充分型判斷和選擇題型又進(jìn)行了強(qiáng)化訓(xùn)練。 
    （315，2002清華，劉賓）數(shù)學(xué)：基本概念百讀不厭，典型例題百做不厭。我在高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)、微分、偏導(dǎo)數(shù)等幾個部分遇到幾道基本概念題目，二個月內(nèi)反反復(fù)復(fù)做了二十幾遍， 有時甚至以為書上的一些步驟可以略去，也能得出相同結(jié)論，后來才深入領(lǐng)悟到是自己概念不清楚。這樣做透之后，其他題目有一些小的花招我很快就識別出來了。 
    不做偏題做難題，不求做多，但求做透。什么是偏題？僅就一個非基本概念一直挖下去特別深就是偏題目。比如某些N階行列式。什么是好的難題？要用多個基本概念巧妙結(jié)合才能解決的問題就是好題。比如概率題中用到了數(shù)列和微積分。  
     對于數(shù)學(xué)我還是強(qiáng)調(diào)基本功，在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的第一步，我選擇了看大學(xué)時期的課本，盡量的把課本上定理和概念的來龍去脈弄清楚，盡量準(zhǔn)確和清楚的理解概念和公式，這樣你就會體會到概念的本質(zhì)，即使是最難的、最復(fù)雜的題也是能夠分解成為若干個小概念的；課后的題，我也盡量做了，因?yàn)檎n后題和參考書上的題有點(diǎn)不同的是它是按你的由不知到知、由淺入深的學(xué)習(xí)進(jìn)度安排的，所以在深度和難度上的連續(xù)性比較好，不象許多的參考書，題目的安排是以讀者已有一定的概念基礎(chǔ)為思路的，所以跳躍性較大，不利于打好基本功，尤其是對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱的同學(xué)，從基礎(chǔ)開始尤為重要。 
     希望上面的這些同學(xué)原諒我，未經(jīng)允許就引用了他們的文章。

基礎(chǔ)知識這么重要，那么哪些內(nèi)容屬于基礎(chǔ)知識呢？ 對不起，沒有捷徑，機(jī)工版教材上講的都是基礎(chǔ)知識。我這里只能選幾個主題說一下。 
1、集合的概念  
     集合是數(shù)學(xué)中最重要的概念，是整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。我印象中，集合的定義是：集合是具有相同性質(zhì)的元素的集體。這個定義屬于循環(huán)定義，因?yàn)榧�體就是集合。我的理解是：把一些互不相同的東西放在一起，就組成一個集合。唯一的要求是“互不相同”。集合中的元素可以是毫不相干的。元素可以是個體，也可以是一個集合， 比如1，2，{1，2}就構(gòu)成一個集合，集合中有三個元素，兩個是個體，一個是集合。元素可以是數(shù)對，（x,y）是一個數(shù)對，代表二維坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)。如果集合中的元素沒有共同的特征，要完整地描述一個集合，我們被迫列出集合中的每一個元素，如{一陣風(fēng)，一匹馬，一頭牛}；如果存在相同的特征，描述就簡單多了，如{所有正整數(shù)}、{所有英國男人}、{所有四川的下過馬駒的紅色的母馬}，不用一一列舉。區(qū)間是特殊的集合，專門用來表示某些連續(xù)的實(shí)數(shù)的集合。集合在邏輯中的應(yīng)用也十分廣泛，學(xué)好了集合，數(shù)學(xué)和邏輯都能提高，起到“兩個男人并排坐在石頭上”的作用。   
    集合中元素的個數(shù)是集合的重要特征。如果兩個集合的元素能有一一對應(yīng)的關(guān)系，那么這兩個集合元素的個數(shù)就是相等的。在我們平時數(shù)物品的數(shù)量時，說1，2，3，4，5，一共有5個，這時我們就是在把物品的集合與集合（1，2，3，4，5）建立一一對應(yīng)的關(guān)系，正是因?yàn)槲锲窋?shù)量與集合（1，2，3，4，5）的元素個數(shù)相等，所以我們才說物品共有5個。集合分為有限集合和無限集合，元素的個數(shù)一般是針對有限集合說的。對無限集合來說，有很多不同之處。比如{所有的正整數(shù)}與{所有的正偶數(shù)}，后者只是前者的一個子集，但兩者存在一一對應(yīng)的關(guān)系，因此元素個數(shù)“相等”。而{所有整數(shù)}與{所有實(shí)數(shù)}則不可能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，因?yàn)樗鼈兊臒o限的級別是不同的。對兩個無限集合，我們只強(qiáng)調(diào)是否能一一對應(yīng)，不說元素個數(shù)是否相等。  
    兩個集合有交集和并集的關(guān)系。交集是同時在兩個集合中的所有元素的集合，例如{中國人}交{男人}={中國男人}，{韓國俊男}交{韓國美女}={河利秀}。并集是在其中任一個集合中的所有元素的集合。因?yàn)榧�合中的元素不能重�?fù)，所以取并集時要去掉重復(fù)了的元素，A并B的元素個數(shù)=A的元素個數(shù)+B的元素個數(shù)-A交B的元素個數(shù)。  
2、函數(shù)的概念 

    如果集合A中的每一個元素，按照某種對應(yīng)關(guān)系，在集合B中都有唯一的對應(yīng)元素，那么這種對應(yīng)關(guān)系被稱為A到B的函數(shù)。例如Y=2X，Y=X^2都建立了{(lán)全體實(shí)數(shù)}到{全體實(shí)數(shù)}的函數(shù)關(guān)系，如果用f代表對應(yīng)關(guān)系，則函數(shù)表述為：f(x)=2x, f(x)=x^2。 如果A中的某些元素，不能對應(yīng)B中唯一的元素，則不存在函數(shù)關(guān)系。比如{所有小偷}與{所有失主}，因?yàn)槟承┬⊥低颠^很多不同失主的東西。 
    函數(shù)的定義域和值域。MBA數(shù)學(xué)只考慮實(shí)數(shù)。所有能使函數(shù)有意義的實(shí)數(shù)的集合，構(gòu)成函數(shù)的定義域，即上面的集合A。F（X）=X^(1/2)定義域?yàn)閧X/ X>=0}，F(xiàn)（X）=1/X定義域?yàn)閧X/ X<>=0}，F(xiàn)（X）=LN(X)定義域?yàn)閧X/ X>0}。如果函數(shù)中同時包括幾類簡單函數(shù)，則定義域是各類函數(shù)定義域的交集。定義域按照對應(yīng)關(guān)系，能對應(yīng)的所有實(shí)數(shù)的集合，構(gòu)成函數(shù)的值域。定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域，三者構(gòu)成一個函數(shù)。   
    定義域中的每一個元素，與其在值域中對應(yīng)的元素，組成一個數(shù)對，由二維坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)來表示。所有這樣的點(diǎn)形成了函數(shù)的圖象。圖象能直觀地表現(xiàn)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，大家應(yīng)該熟悉冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的基本圖象。要求高的同學(xué)可以進(jìn)一步掌握圖象的平移、反射、旋轉(zhuǎn)。 
    奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義不說了，要注意的是奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱。F（X）=X，X為任意實(shí)數(shù) 是奇函數(shù)，如果限定X屬于[-3，5]，那函數(shù)就不是奇函數(shù)了。  
    反函數(shù)。如果集合A中的每一個元素，按照某種對應(yīng)關(guān)系，在集合B中都有唯一的對應(yīng)元素；而B中的每一個元素，在A中都有唯一的元素與之對應(yīng)。則A到B的對應(yīng)關(guān)系是可逆的，A到B的對應(yīng)關(guān)系是原函數(shù)，B到A的對應(yīng)關(guān)系是反函數(shù)。對于連續(xù)的函數(shù)來說，只有絕對增函數(shù)或絕對減函數(shù)，才存在反函數(shù)，否則A中必有兩個元素，在B中對應(yīng)同一元素。對于不連續(xù)的函數(shù)則沒有上述限制。  
    復(fù)合函數(shù)。集合A中的元素，按一種函數(shù)對應(yīng)到集合B，B中的相應(yīng)元素，再按另一種函數(shù)對應(yīng)到集合C，最后形成集合A到集合C的對應(yīng)關(guān)系，稱為復(fù)合函數(shù)。  
3、數(shù)列的概念  
    數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)槿�體或部分自然數(shù)。數(shù)列的通項公式A（N）就是一個函數(shù)，求出通項公式，等于求出了數(shù)列的任一項。數(shù)列的前N項和S（N）（N=1，2，。。。）構(gòu)成了一個新的數(shù)列，知道S（N）的公式，通過A（1）=S（1），A（N）=S（N）-S（N-1）就能求出原數(shù)列的通項公式。  
     MBA數(shù)學(xué)主要考察等差數(shù)列和等比數(shù)列。有些數(shù)列不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，但經(jīng)過改造后可構(gòu)造出等差數(shù)列或等比數(shù)列，如A（1）=1，A（N+1）=2A（N）+1。這個數(shù)列的每一項都加上1，就成為等比數(shù)列了，通項公式為2^N，因此原數(shù)列通項公式為：A（N）=2^N-1  
其他常見的數(shù)列包括A（N）=N^3, A（N）=N！/（N-K）！，A(N)=1/[N(N-1)]等，都有相應(yīng)的辦法能處理。   
4、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分的概念 
   極限的概念是整個微積分的基礎(chǔ)，需要深刻地理解，由極限的概念才能引出連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念。極限的概念首先是從數(shù)列的極限引出的。對于任意小的正數(shù)E，如果存在自然數(shù)M，使所有N》M時，|A（N）-A|都小于E，則數(shù)列的極限為A。極限不是相等，而是無限接近。而函數(shù)的極限是指在X0的一個臨域內(nèi)（不包含X0這一點(diǎn)），如果對于任意小的正數(shù)E，都存在正數(shù)Q，使所有（X0-Q，X0+Q）內(nèi)的點(diǎn)，都滿足|F（X）-A|《E，則F（X）在X0點(diǎn)的極限為A。很多求極限的題目都可以用極限的定義直接求出。   
     例如F（X）=（X^2-3X+2）/(X-2), X=2不在函數(shù)定義域內(nèi)，但對于任何X不等于2，F(xiàn)（X）=X-1，因此在X無限接近2，但不等于2時，F(xiàn)（X）無限接近1，因此F（X）在2處的極限為1。  
     連續(xù)的概念。如果函數(shù)在X0的極限存在，函數(shù)在X0有定義，而且極限值等于函數(shù)值，則稱F（X）在X0點(diǎn)連續(xù)。以上的三個條件缺一不可。 `  
在上例中，F(xiàn)（X）在X=2時極限存在，但在X=2這一點(diǎn)沒有定義，所以函數(shù)在X=2不連續(xù)； 
     如果我們定義F（2）=1，補(bǔ)上“缺口”，則函數(shù)在X=2變成連續(xù)的；   
     如果我們定義F（2）=3，雖然函數(shù)在X=2時，極限值和函數(shù)值都存在，但不相等，那么函數(shù)在X=2還是不連續(xù)。   
     由連續(xù)又引出了左極限、右極限和左連續(xù)、右連續(xù)的概念。函數(shù)值等于左極限為左連續(xù)，函數(shù)值等于右極限為右連續(xù)。如果函數(shù)在X0點(diǎn)左右極限都存在，且都等于函數(shù)值，則函數(shù)在X=X0時連續(xù)。這個定義是解決分段函數(shù)連續(xù)問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。   
    如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，在區(qū)間的左右端點(diǎn)分別左右連續(xù)（對閉區(qū)間而言），則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)。  
    導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率，直觀地看是指切線的斜率。略有不同的是，切線可以平行于Y軸，此時斜率為無窮大，因此導(dǎo)數(shù)不存在，但切線存在。  
    導(dǎo)數(shù)的求法也是一個極限的求法。對于X=X0，在X0附近另找一點(diǎn)X1，求X0與X1連線的斜率。當(dāng)X1無限靠近X0，但不與X0重合時，這兩點(diǎn)連線的斜率，就是F（X）在X=X0處的導(dǎo)數(shù)。關(guān)于導(dǎo)數(shù)的題目多數(shù)可用導(dǎo)數(shù)的定義直接解決。教科書中給出了所有基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，如果自己能用導(dǎo)數(shù)的定義都推導(dǎo)一遍，理解和記憶會更深刻。其中對數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)中用到了重要極限：limx-->0 (1+x)^(1/x)=e。 
    導(dǎo)數(shù)同樣分為左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)存在的條件是：F（X）在X=X0連續(xù)，左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。這個定義是解決分段函數(shù)可導(dǎo)問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。 
    如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，在區(qū)間的左右端點(diǎn)分別左右導(dǎo)數(shù)存在（對閉區(qū)間而言），則稱函數(shù)在這個區(qū)間上可導(dǎo)。  
    復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如f[u（x）]，是集合A中的自變量x，產(chǎn)生微小變化dx，引起集合B中對應(yīng)數(shù)u的微小變化du，u的變化又引起集合C中的對應(yīng)數(shù)f(u)的變化，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f’[u（x）]=df（u）/dx=df（u）/du * du/dx=f’（u）*u‘（x） 
    導(dǎo)數(shù)在生活中的例子最常見的是距離與時間的關(guān)系。物體在極其微小的時間內(nèi)，移動了極其微小的距離，二者的比值就是物體在這一刻的速度。對于自由落體運(yùn)動，下落距離S=1/2gt^2，則物體在時間t0的速度為V(t0)=[S（t0+a）-S(t0)]/a, 當(dāng)a趨近于0時的值，等于gt0; 而速度隨時間的增加而增加，變化的比率g稱為加速度。加速度是距離對時間的二階導(dǎo)數(shù)。   
    從直觀上看，可導(dǎo)意味著光滑的、沒有尖角，因?yàn)樵诩饨翘幾笥覍?dǎo)數(shù)不相等。有笑話說一位教授對學(xué)生抱怨道：“這飯館讓人怎么吃飯？你看這碗口，處處不可導(dǎo)！”   
    積分的概念。從面積上理解，積分就是積少成多，把無限個面積趨近于0的線條，累積在一起，就成為大于0的面積。我們可以把一塊圖形分割為狹長的長方形（長方形的高度都取函數(shù)在左端或右端的函數(shù)值），分別計算各個長方形的面積再加總，可近似地得出圖形的面積。當(dāng)我們把長方形的寬度設(shè)定得越來越窄，計算結(jié)果就越來越精確，與圖形實(shí)際面積的差距越來越小。如果函數(shù)的積分存在，則長方形寬度趨近于0時，求出的長方形面積總和的極限存在，且等于圖形的實(shí)際面積。這里又是一個極限的概念。 
    如果函數(shù)存在不連續(xù)的點(diǎn)，但在該點(diǎn)左右極限都存在，函數(shù)仍是可積的。只要間斷點(diǎn)的個數(shù)是有限的，則它們代表的線條面積總和為0，不影響計算結(jié)果。   
    在廣義積分中，允許函數(shù)在無限區(qū)間內(nèi)積分，或某些點(diǎn)的函數(shù)值趨向無窮大，只要積分的極限存在，函數(shù)都是可積的。   
     嚴(yán)格地說，我們只會計算長方形的面積。從我們介紹的積分的求法看，我們實(shí)際上是把求面積化為了數(shù)列求和的問題，即求數(shù)列的前N項和S（N），在N趨近于無窮大時的極限。很多時候，求積分和求無限數(shù)列的和是可以相互轉(zhuǎn)換的。當(dāng)我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之后，我們同樣可用它來解決相當(dāng)棘手的數(shù)列求和問題。  
     例如：求LIM Nà正無窮大時，1/N*[1+1/（1+1/N）+1/（1+2/N）+。。。+1/(1+（N-1）/N)+1/2]的值。   
    看似無從下手，可當(dāng)我們把它轉(zhuǎn)化為一連串的小長方形的面積之后，不禁會恍然大悟：這不是F（X）=1/X在[1，2]上的積分嗎？從而輕松得出結(jié)果為ln2。 _]33Ht9  
     除了基本的積分公式外，換元法和分步法是常用的積分方法。換元積分法的實(shí)質(zhì)是把原函數(shù)化為形式簡單的復(fù)合函數(shù)；分步積分法的要領(lǐng)是：在∫udv=uv-∫vdu中，函數(shù)u微分后應(yīng)該變簡單（比如次數(shù)降低），而函數(shù)v積分后不會變得更復(fù)雜。 
5、排列、組合、概率的概念   
     排列、組合、概率都與集合密切相關(guān)。排列和組合都是求集合元素的個數(shù)，概率是求子集元素個數(shù)與全集元素個數(shù)的比值。 
以最常見的全排列為例，用S（A）表示集合A的元素個數(shù)。用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)，則每一個九位數(shù)都是集合A的一個元素，集合A中共有9！個元素，即S（A）=9！  
     如果集合A可以分為若干個不相交的子集，則A的元素等于各子集元素之和。把A分成各子集，可以把復(fù)雜的問題化為若干簡單的問題分別解決，但我們要詳細(xì)分析各子集之間是否確無公共元素，否則會重復(fù)計算。   
     集合的對應(yīng)關(guān)系   
     兩個集合之間存在對應(yīng)關(guān)系（以前學(xué)的函數(shù)的概念就是集合的對應(yīng)關(guān)系）。如果集合A與集合B存在一一對應(yīng)的關(guān)系，則S（A）=S（B）。如果集合B中每個元素對應(yīng)集合A中N個元素，則集合A的元素個數(shù)是B的N倍（嚴(yán)格的定義是把集合A分為若干個子集，各子集沒有共同元素，且每個子集元素個數(shù)為N，這時子集成為集合A的元素，而B的元素與A的子集有一一對應(yīng)的關(guān)系，則S（A）=S（B）  
    例如：從1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取六個數(shù)，問能組成多少個數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)。   
    集合A為數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)的集合，S（A）=9！   
    集合B為數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)的集合。   
    把集合A分為子集的集合，規(guī)則為前6位數(shù)相同的元素構(gòu)成一個子集。顯然各子集沒有共同元素。每個子集元素的個數(shù)，等于剩余的3個數(shù)的全排列，即3！
這時集合B的元素與A的子集存在一一對應(yīng)關(guān)系，則  
S（A）=S（B）

S（B）=9  
    組合與排列的區(qū)別在于，每一個組合中的各元素是沒有順序的。無論這些元素怎樣排列，都只當(dāng)作一種組合方式。所以在計算組合數(shù)的時候，只要分步，就意味有次序。取N次，N件物品的N！種排列方式都會被當(dāng)作不同選法，該選法就重復(fù)計了N！次。比如10個球中任取三個球，取法應(yīng)該是C（10，3），但如果先從10個中取一個，得C（10，1），再從9個中取一個得C（9，1），再從8個中取一個得C（8，1），再相乘結(jié)果成了P（10，3），結(jié)果增大了3！倍。 
    概率的概念。在有限集合的情況下，概率是子集元素個數(shù)與全集元素個數(shù)的比值。在無限集合的情況下，概率是代表子集的點(diǎn)的面積與代表全集的點(diǎn)的面積的比值。 
    概率分布函數(shù)可以描述概率分布的全貌。離散型的概率分布是一組數(shù)列，計算事件發(fā)生的概率、數(shù)學(xué)期望和方差都使用數(shù)列的計算方法。連續(xù)型的概率分布是一個函數(shù)， 它等于概率密度函數(shù)的積分，計算事件發(fā)生的概率、數(shù)學(xué)期望和方差都使用積分的計算方法。  
    概率的概念不難理解，解題能力決定于對數(shù)列和積分中的方法掌握的熟練程度。 
6、線性代數(shù)的相關(guān)概念 
    向量是一組數(shù)，代表從原點(diǎn)向一個點(diǎn)引出的有方向的線段。在平面上容易理解，（X，Y）代表從原點(diǎn)從點(diǎn)（X，Y）引出的線段；三維空間中的向量也好理解，伸出胳膊隨便指向一個方向，就是一個向量。超過三維的向量就只能靠想象了。

向量之間線性相關(guān)的定義是這樣的，對于向量B和一組向量A1，A2，。。。，AN，如果存在一組不全為0的數(shù)L1，L2，。。。，LN，使B=L1A1+L2A2+。。。+LNAN，則稱向量B與向量組A線性相關(guān)，否則稱向量B與向量組A線性無關(guān)。B與A線性相關(guān)，即B是A的一個線性組合。如三維空間中的任一向量K（X，Y，Z），都是向量組A1（1，0，0）、A2（0，1，0）、A3（0，0，1）的一個線性組合，因?yàn)镵=XA1+YA2+ZA3。上述定義對解決線性相關(guān)的問題非常重要，必須深刻理解。
    極大無關(guān)組的概念。極大無關(guān)組是一組向量A1，A2，。。。，AN中選出的部分向量，組成新的向量組，假定叫向量組S。S滿足：A中的任一向量都與S線性相關(guān)（保證S的極大性），S中的任一向量與S中其余的向量線性無關(guān)（保證S的無關(guān)性）。則S為A的一個極大無關(guān)組。  
    向量組中可能存在多個極大無關(guān)組。假設(shè)三維空間中的所有向量組成一個向量組，則向量組A1（1，0，0）、A2（0，1，0）、A3（0，0，1）是其中的一個極大無關(guān)組。向量組B1（1，0，0）、B2（0，2，0）、B3（0，0，3）同樣是極大無關(guān)組。只要選出的三個向量組成的行列式值不為0，就都是一個極大無關(guān)組。對于任意維空間，極大無關(guān)組可看作一組向量中選出的一組坐標(biāo)系，每個向量都是這組坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)。  
    矩陣是一組向量排成的長方形。這組向量中，極大無關(guān)組中含有的向量的個數(shù)稱為矩陣的秩。如果每個向量都視為一條信息，矩陣的秩就是矩陣包含的信息量的條數(shù)。極大無關(guān)組之外的向量，代表無效信息，因?yàn)樗鼈兛梢杂蓸O大無關(guān)組中的信息表示出來。   
    理解了基本概念，對基本數(shù)學(xué)方法就更容易掌握。初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)除了多出新的概念之外，運(yùn)用的都是初等數(shù)學(xué)的方法。數(shù)列和微積分又是概率論的基礎(chǔ)。 
三、找出解題思路   
     很多同學(xué)做題的困難都在于找不到思路。但我覺得，在掌握基本概念和基本方法之后，多數(shù)題都容易找到思路，因?yàn)镸BA數(shù)學(xué)主要考基本方法。我只提幾條建議： 
1、 把文字材料翻譯成數(shù)學(xué)語言。數(shù)學(xué)的語言是方程、等式或不等式，把題目中出現(xiàn)的每個變量都用X，Y，Z等未知數(shù)代替，再從題目中找出這些未知數(shù)之間的關(guān)系。多數(shù)初等數(shù)學(xué)題都變成了解線性方程。   
2、 聯(lián)想。對題目中出現(xiàn)的式子要展開聯(lián)想，搜索記憶庫中的導(dǎo)數(shù)、積分、數(shù)列等等中的公式，看它與哪個公式“模樣”比較象，就朝哪個方向去思考。   
3、 簡化。題目中的式子可能很復(fù)雜，我們可以把相同的東西用一個新的變量代替，復(fù)雜式子中的簡單關(guān)系就顯現(xiàn)出來了。   
4、 搭出思維的框架。就象寫文章一樣，具體內(nèi)容還沒想全，但頭腦中已經(jīng)有提綱。比如已知等差數(shù)列的第二項和第七項，求數(shù)列第101項到第200項的和。在具體求之前，頭腦中就要先有解題的框架： 設(shè)數(shù)列首項a1和公差d為未知數(shù)—》列出兩個方程—》解出a1,d—》由數(shù)列通項公式計算前N項和公式—》計算S100和S200—》S200-S100得出答案。這樣思路清晰，能提高解題速度。
    此外，還可以學(xué)習(xí)一些通用解法。通用解法可以解決相同類型的所有題目，無須再費(fèi)時間思考。比如線代中的線性方程解法、高數(shù)中復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、概率中的數(shù)學(xué)期望和方差等，都是通用解法，答題的速度和準(zhǔn)確性依賴于自己的計算能力，雖然計算復(fù)雜，但不用花時間思考。我也總結(jié)過不少通用解法，比較典型的是：  
     已知數(shù)列通項公式A（N），求數(shù)列的前N項和S（N）。   
     這個問題等價于求S（N）的通項公式，而S（N）=S（N-1）+A（N），這就成為遞推數(shù)列的問題。
解法是尋找一個數(shù)列B（N），  
使S（N）+B（N）=S（N-1）+B（N-1）   
從而S（N）=A（1）+B（1）-B（N）   
猜想B（N）的方法：把A（N）當(dāng)作函數(shù)求積分，對得出的函數(shù)形式設(shè)待定系數(shù)，利用B（N）-B（N-1）=-A（N）求出待定系數(shù)。

例題：求S（N）=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N 

解：S（N）=S（N-1）+N*2^N  
N*2^N積分得（N*LN2-1）*2^N/(LN2)^2 

因此設(shè)B（N）=（PN+Q)*2^N 
則 （PN+Q)*2^N-[P（N-1）+Q)*2^（N-1）=-N*2^N   
（P*N+P+Q）/2*2^N=-N*2^N   
因?yàn)樯鲜绞呛愕仁�，所以P=-2，Q=2   
B（N）=（-2N+2)*2^N   
A（1）=2，B（1）=0   
因此：S（N）=A（1）+B（1）-B（N）   
=（2N-2）*2^N+2   
    對于求集合元素個數(shù)的問題，也有通用解法。比如三個相交的集合，可以先畫出三個相交的圓圈，分別作為集合A、B、C，A在上，B在左下，C在右下。則A、B、C都被分為四部分，一共分為7塊。從最上開始，沿逆時針方向?qū)⒅車�一圈設(shè)為X1、X2。。。X6，中間為X7，AUBUC的補(bǔ)集設(shè)為X8。那么題目中給出的任何條件都可以化成關(guān)于這八個未知數(shù)的方程組，然后變成解線性方程組的問題。如果不用這種方法，題目中的A與B的交集并上C、A與B的差交C等變化萬千的條件容易把人攪得頭暈?zāi)X漲。   
     與通用解法相對應(yīng)的是特殊解法。特殊解法方法巧妙，計算簡便，可以大大提高解題速度。但掌握特殊解法需要靠大量的練習(xí)、總結(jié)、積累。如求函數(shù)f(x)=x^2(1-x)在[0，1]上的最大值，可利用幾何平均數(shù)小于算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)，直接得出: 
f(x)= x^2(1-x)=4*x/2*x/2*(1-x)<=4*[(x/2+x/2+1-x)/3]^3=4/27，等號在x/2=1-x，即x=2/3時成立。從而最大值為4/27。無須求導(dǎo)數(shù)、駐點(diǎn)再代入原式計算。