下面介紹求簡(jiǎn)單遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的通用解法，并由此思路解一個(gè)老題

以下記A（N）為數(shù)列第N項(xiàng)

1、已知A1=1，A（N）=2A（N-1）+1，求數(shù)列通項(xiàng)公式
解：由題意，A（N）+1=2[A（N-1）+1]
即 A（N）+1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
因此 A(N)+1=2^N
數(shù)列通項(xiàng)公式為 A(N)=2^N-1

2、通用算法
已知A1=M，A（N）=P*A（N-1）+Q，P《》1，求數(shù)列通項(xiàng)公式
解：設(shè) A（N）+X=P*[A（N-1）+X]
解得 X=Q/（P-1）
因此 A（N）+Q/（P-1）是以A1+Q/（P-1）為首項(xiàng)，P為公比的等比數(shù)列
由此可算出A（N）通項(xiàng)公式

3、已知A1和A2， A（N）=P*A（N-1）+Q*A（N-2），求數(shù)列通項(xiàng)公式
解題思路：設(shè) A（N）+X*A（N-1）=Y*[A（N-1）+X*A（N-2）]
代入原式可得出兩組解，對(duì)兩組X，Y分別求出
A（N）+X*A（N-1）的通項(xiàng)公式
再解二元一次方程得出A（N）
注：可能只有一組解，但另有解決辦法。

4、現(xiàn)在用上面的思路來(lái)解決一個(gè)著名的問(wèn)題：
N個(gè)球和N個(gè)盒子分別編號(hào)從1到N，N個(gè)球各放入一個(gè)盒子，求沒有球與盒子編號(hào)相同的放法總數(shù)。

解：設(shè)A（N）為球數(shù)為N時(shí)滿足條件的放法（以下稱無(wú)配對(duì)放法）總數(shù)，
易知A1=0，A2=1
當(dāng)N》2時(shí)，一號(hào)球共有N-1種放法，假設(shè)1號(hào)球放入X號(hào)盒子
在剩下的N-1個(gè)球和N-1個(gè)盒子中，如X號(hào)球正好放入1號(hào)盒子，
問(wèn)題等價(jià)于有N-2個(gè)球的無(wú)配對(duì)放法，放法總數(shù)為：A（N-2）
在剩下的N-1個(gè)球和N-1個(gè)盒子中，如X號(hào)球沒有放入1號(hào)盒子，
則可以把X號(hào)球看作1號(hào)球，問(wèn)題等價(jià)于有N-1個(gè)球的無(wú)配對(duì)放法，
放法總數(shù)為：A（N-1）

因此有 A（N）=（N-1）*[A（N-1）+A（N-2）]
上式可變換為： A（N）-NA（N-1）
=-[A（N-1）-（N-1）*A（N-2）]
按等比數(shù)列得出： A（N）-NA（N-1）=（-1）^N
上式除以N！得出：
A（N） A（N-1） （-1）^N
------- = ---------------- + -----------------
N！ （N-1）！ N！

把 A（N）/N！當(dāng)作新的數(shù)列， 把（-1）^N/N！也作為一個(gè)數(shù)列
則 A（N）等于數(shù)列 （-1）^N/N！從第二項(xiàng)到第N項(xiàng)的和再乘以N

另外可得出：
N球恰有K球與盒子配對(duì)的放法總數(shù)為： C（N，K）*A（N-K）