中國科學技術大學2001年數學分析試題
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時間:2007-06-06 14:34:13
注:用< >表示下標 { }表示上標
一. (16分)
(1)已知: c 求:
lim(1 x)^(c/x)=∫ t(c^t)dt, c.
x→0 -∞
(2)設x>0且x≠1,
則有:
(ln x)/(x-1)<x^(-1/2)
二. (12分)
證明f(x)=1/x在[a, ∞) (其中a>0) 上一致連續(xù),
g(x)=sin(1/x)在(0,1)上不一致連續(xù).
三. (12分)
求曲面(x^2 y^2 z^2)^3=(a^3)xyz (a>0) 所圍成的立體的體積.
四. (12分)
設a<1>和b<1>是任意兩個正數, 并且a<1>≤b<1>, 還設
a<n>=(2a<n-1>b<n-1>)/(a<n-1> b<n-1>),
b<n>=(a<n-1>b<n-1>)^(1/2), (n=2,3,...)
求證:
序列a<1>,a<2>,...和b<1>,b<2>,...均收斂,并且具有相同的極限.
五. (12分)
設V是由橢圓面(x^2/a^2) (y^2/b^2) (z^2/c^2)=1的切平面和三個坐標平面
所圍成的區(qū)域的體積,求V的最小值.
六. (12分) ∞
設f為連續(xù)實值函數, 并且對所有x, 有f(x)≥0, 還設∫f(x)dx<∞
0
求證: n
(1/n)∫xf(x)dx→∞ (n→∞)
0
七. (12分) b b
如果廣義積分∫|f(x)|dx (其中a是瑕點)收斂, 那么∫f(x)dx收斂,
a a
并舉例說明此命題的逆不成立.
八. (12分)
設f是(0,∞)上有界連續(xù)函數, 并設r<1>,r<2>,...是任意給定的無窮正實數列,
試證存在無窮正實數列x<1>,x<2>,...,
使得:
lim(f(x<n> r<n>)-f(x<n>))=0
n→∞
結束
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