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中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)2001年數(shù)學(xué)分析試題

來源：時(shí)間：2007-06-06 14:34:13

注:用< >表示下標(biāo) { }表示上標(biāo)

一. (16分)
(1)已知: c 求:
lim(1 x)^(c/x)＝∫ t(c^t)dt, c.
x→0 -∞

(2)設(shè)x＞0且x≠1,
則有:
(ln x)/(x-1)＜x^(-1/2)

二. (12分)
證明f(x)＝1/x在[a, ∞) (其中a>0) 上一致連續(xù),
g(x)=sin(1/x)在(0,1)上不一致連續(xù).

三. (12分)
求曲面(x^2 y^2 z^2)^3＝(a^3)xyz (a＞0) 所圍成的立體的體積.

四. (12分)
設(shè)a<1>和b<1>是任意兩個(gè)正數(shù), 并且a<1>≤b<1>, 還設(shè)
a<n>＝(2a<n-1>b<n-1>)/(a<n-1> b<n-1>),
b<n>＝(a<n-1>b<n-1>)^(1/2), (n=2,3,...)
求證:
序列a<1>,a<2>,...和b<1>,b<2>,...均收斂，并且具有相同的極限.

五. (12分)
設(shè)V是由橢圓面(x^2/a^2) (y^2/b^2) (z^2/c^2)＝1的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面
所圍成的區(qū)域的體積，求V的最小值.

六. (12分) ∞
設(shè)f為連續(xù)實(shí)值函數(shù), 并且對(duì)所有x, 有f(x)≥0, 還設(shè)∫f(x)dx＜∞
0
求證: n
(1/n)∫xf(x)dx→∞ (n→∞)
0

七. (12分) b b
如果廣義積分∫|f(x)|dx (其中a是瑕點(diǎn))收斂, 那么∫f(x)dx收斂,
a a
并舉例說明此命題的逆不成立.

八. (12分)
設(shè)f是(0,∞)上有界連續(xù)函數(shù), 并設(shè)r<1>,r<2>,...是任意給定的無窮正實(shí)數(shù)列,
試證存在無窮正實(shí)數(shù)列x<1>,x<2>,...,
使得:
lim(f(x<n> r<n>)-f(x<n>))＝0
n→∞

結(jié)束

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