2017考研數(shù)學(xué)：矩陣相似對角化要點及技巧

　　矩陣的相似對角化是考研的重要考點，該部分內(nèi)容既可以出大題，也可以出小題。所以同學(xué)們必須學(xué)會如何判斷一個矩陣可對角化，現(xiàn)把該部分的知識點總結(jié)如下:

　　一般方陣的相似對角化理論

　　這里要求掌握一般矩陣相似對角化的條件，會判斷給定的矩陣是否可以相似對角化，另外還要會矩陣相似對角化的計算問題，會求可逆陣以及對角陣。事實上，矩陣相似對角化之后還有一些應(yīng)用，主要體現(xiàn)在矩陣行列式的計算或者求矩陣的方冪上，這些應(yīng)用在歷年真題中都有不同的體現(xiàn)。

　　1、判斷方陣是否可相似對角化的條件：

　　(1)充要條件：An可相似對角化的充要條件是：An有n個線性無關(guān)的特征向量;

　　(2)充要條件的另一種形式：An可相似對角化的充要條件是：An的k重特征值滿足

　　(3)充分條件：如果An的n個特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對角化;

　　(4)充分條件：如果An是實對稱矩陣，那么An一定可以相似對角化。

　　【注】分析方陣是否可以相似對角化，關(guān)鍵是看線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)，而求特征向量之前，必須先求出特征值。

　　2、求方陣的特征值：

　　(1)具體矩陣的特征值：

　　這里的難點在于特征行列式的計算：方法是先利用行列式的性質(zhì)在行列式中制造出兩個0，然后利用行列式的展開定理計算;

　　(2)抽象矩陣的特征值：

　　抽象矩陣的特征值，往往要根據(jù)題中條件構(gòu)造特征值的定義式來求，靈活性較大。

　　實對稱矩陣的相似對角化理論

　　其實質(zhì)還是矩陣的相似對角化問題，與一般方陣不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求大家除了掌握實對稱矩陣的正交相似對角化外，還要掌握實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，在考試的時候會經(jīng)常用到這些考點的。

　　這塊的知識出題比較靈活，可直接出題，即給定一個實對稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對角陣;也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A;另外由于實對稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A。

　　比較重要的是，掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化就相當(dāng)于解決了實二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問題。

　　1、掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)

　　(1)不同特征值的特征向量一定正交

　　(2)k重特征值一定滿足

　　【注】由性質(zhì)(2)可知，實對稱矩陣一定可以相似對角化;且有(1)可知，實對稱矩陣一定可以正交相似對角化。

　　2、會求把對稱矩陣正交相似化的正交矩陣

　　【注】熟練掌握施密特正交化的公式;特別注意的是：只需要對同一個特征值求出的基礎(chǔ)解系進行正交化，不同特征值對應(yīng)的特征向量一定正交(當(dāng)然除非你計算出錯了會發(fā)現(xiàn)不正交)。

　　3、實對稱矩陣的特殊考點：

　　實對稱矩陣一定可以相似對角化，利用這個性質(zhì)可以得到很多結(jié)論，比如：

　　(1)實對稱矩陣的秩等于非零特征值的個數(shù)

　　這個結(jié)論只對實對稱矩陣成立，不要錯誤地使用。

　　(2)兩個實對稱矩陣，如果特征值相同，一定相似

　　同樣地，對于一般矩陣，這個結(jié)論也是不成立的。

　　4、實對稱矩陣在二次型中的應(yīng)用

　　使用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型使用的方法本質(zhì)上就是實對稱矩陣的正交相似對角化。