2016年考研數(shù)學(xué)大綱專題解析之一元積分

　　新考研大綱如約而至。對考生而言，關(guān)注點(diǎn)應(yīng)從對考綱的關(guān)注轉(zhuǎn)到如何更有效地復(fù)習(xí)上。筆者作為奮戰(zhàn)在教學(xué)一線的數(shù)學(xué)老師，考慮到這階段的同學(xué)已經(jīng)歷了基礎(chǔ)階段和暑期的復(fù)習(xí)，已具備一定基礎(chǔ)，也對真題中的題型有一定了解，但未必形成知識體系，重難點(diǎn)也未必完全把握。所以，借助此次與廣大考生交流的機(jī)會，跨考教育數(shù)學(xué)教研室劉瑋宇老師梳理了高等數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)，以期給正在全力攀登的考生搭一把手。

　　專題四 一元積分

　　一元積分包括三部分內(nèi)容：不定積分、定積分和廣義積分。下面逐一討論。

　　1. 不定積分

　　不定積分主要考什么?概念、性質(zhì)、計(jì)算?計(jì)算!下面就梳理一下不定積分的計(jì)算方法。該方法可總結(jié)為“一個(gè)基礎(chǔ)兩個(gè)方法”。所謂“一個(gè)基礎(chǔ)”指：有理函數(shù)積分的處理方法;所謂“兩個(gè)方法”指根式的處理方法和分部積分法。

　　何謂有理函數(shù)積分?即被積函數(shù)為有理函數(shù)的積分。而有理函數(shù)即分子分母分別為n次和m次多項(xiàng)式的函數(shù)。有理函數(shù)積分是整個(gè)不定積分計(jì)算的基礎(chǔ)，因?yàn)楹芏嗥渌�類型的積分(如指數(shù)有理式積分、三角有理式積分等)可化為有理函數(shù)積分�？荚囍苯涌加欣砗瘮�(shù)積分的可能性不大，但可能間接考，也就是在計(jì)算過程中的某一步用到有理函數(shù)積分的處理方法。那如何處理?簡單說就是在老舊危房的墻壁上我們經(jīng)�？吹降哪莻�(gè)字——拆。如何拆?教材和較權(quán)威的輔導(dǎo)書上都有討論，總結(jié)起來有三種情況：被積函數(shù)若含有x-a這種一次因子，則被積函數(shù)拆出一項(xiàng)A/(x-a)，其中A為待定參數(shù);若含有(x-a)^2這種二次因子，則被積函數(shù)拆出兩項(xiàng)A/(x-a)+ B/(x-a)^2;若含有x^2+ax+b這種二次因子(該拋物線無零點(diǎn))，則被積函數(shù)拆出一項(xiàng)(Ax+B)/(x^2+ax+b)。

　　接下來，討論根式的處理。若被積函數(shù)含有根號，我們自然想到去根號。如何去根號取決于根號下面表達(dá)式的具體形式：如果根號下面是關(guān)于x的一次式子，那么整體令成t，就能達(dá)到去根號的效果;如果根號下面是關(guān)于x的二次式子，要去根號，我們可以考慮通過換元讓根號下面整體出現(xiàn)一個(gè)平方，這時(shí)要借助一些三角恒等式，如根號下面是1-x^2，我們令x=sint就能達(dá)到效果;如果根號下面是其他形式，基本思路也是去根號，可類似上面考慮。當(dāng)然，這里的“換元”更嚴(yán)格的表述是不定積分的換元，注意不光要把被積函數(shù)中的變量換掉，還要把微分號中的變量也換成新的積分變量。

　　說著說著就說到了考試的重點(diǎn)內(nèi)容分部積分了。首先要把分部積分的公式弄清楚，可以這樣形式地記憶：被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積，先把一個(gè)函數(shù)湊微分(從形式上看就是把這個(gè)函數(shù)拿到微分號中)，進(jìn)一步等于新的積分式中的兩個(gè)函數(shù)相乘減去兩個(gè)函數(shù)交換位置。

　　接下來要處理好“何時(shí)用”和“怎么用”這兩個(gè)問題。數(shù)學(xué)上的道理和生活中的道理是相通的：打游戲時(shí)想放大招，若把握不好這兩個(gè)問題，那就可能出現(xiàn)不該放招時(shí)放了大招而該放大招時(shí)卻沒有大招了，也可能出現(xiàn)想放大招卻放不出的囧境;打籃球時(shí)要用好自己的身體，如果這兩個(gè)問題處理不好，就可能在不恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間出現(xiàn)在不合適的位置，想為球隊(duì)做貢獻(xiàn)卻總是添亂。那么什么時(shí)候想到用分部積分法呢?有兩個(gè)信號(滿足其一即可)：1)被積函數(shù)是不同類型函數(shù)之積;2)被積函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)和多項(xiàng)式等求導(dǎo)后比自己簡單的函數(shù)。

　　如果確定用分部積分法，那么u(x)和v'(x)的選取是個(gè)關(guān)鍵問題。如何選?觀察分部積分公式，不難發(fā)現(xiàn)等號左邊有u(x)，而等號右邊會出現(xiàn)u'(x)，說明求導(dǎo)后比自己簡單的函數(shù)適合作為u(x)，如lnx，arctanx和多項(xiàng)式等;另外，等號左邊有v'(x)，第一步需要把v'(x)拿到微分號中，說明容易湊微分的函數(shù)適合作為v'(x)，如sinx，exp(x)等。

　　考試考不定積分計(jì)算主要考察根式的處理和分部積分法。有多種小的類型，如“一箭雙雕”型(用變量代換這支箭射下根號和反三角函數(shù)這兩只雕)，“相互抵消”型(兩項(xiàng)單獨(dú)用分部積分難以算出結(jié)果，但在計(jì)算過程中這兩項(xiàng)能抵消)等。需大量練習(xí)才能達(dá)到熟練的要求。

　　2. 定積分

　　先說定積分的定義。幾何意義是曲邊梯形面積的代數(shù)和。特殊情況下(區(qū)間取[0,1]，等分，在每個(gè)小區(qū)間上取右端點(diǎn)處的函數(shù)值)的定積分定義可作為一個(gè)公式求一種特殊類型的極限——n項(xiàng)分母互不相同的分式的和的極限。此外，數(shù)一數(shù)二同學(xué)還需掌握微元法的基本思想。

　　再說定積分的性質(zhì)。定積分的大部分性質(zhì)在計(jì)算過程中經(jīng)常用到，在此不必贅述。值得一提的是比較定理。該定理告訴我們，比較定積分的大小，在保證積分區(qū)間相同的情況下，實(shí)質(zhì)上就是比較被積函數(shù)的大小�？荚嚳级ǚe分的比較本質(zhì)上都是在考比較定理。

　　微積分基本定理從本質(zhì)上解決了定積分的計(jì)算問題。根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式，求定積分在被積函數(shù)連續(xù)的情況下只需求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，再計(jì)算其函數(shù)值之差即可。

　　下面我們說說定積分有什么特殊性質(zhì)。首先是對稱區(qū)間積分，我們比較熟悉的是被積函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí)的性質(zhì)，此外真題中出現(xiàn)了一種新的情形：被積函數(shù)有一個(gè)因子是偶函數(shù)且其余部分有特殊性質(zhì)，也有相應(yīng)的結(jié)論。可以記住這個(gè)結(jié)論，用它來做同種類型的題目。接著就是做變量代換后區(qū)間不變的情況。如被積函數(shù)為f(sinx)，積分區(qū)間為0到pi/2，若做變量代換：x= pi/2-t可得到另一個(gè)積分，從形式上看，相當(dāng)于把原積分的sin換成了cos。這也可以為我們解題提供思路。此外，就是定積分的分部積分法。這里有若干種小的類型，如被積函數(shù)含有抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x), f'' (x)等，被積函數(shù)含有變限積分均可考慮定積分的分部積分法。另外，作為全面復(fù)習(xí)，“點(diǎn)火公式”(被積函數(shù)為sinx的n次冪，積分區(qū)間為0到pi/2)也不應(yīng)放過。

　　3. 廣義積分

　　廣義積分不少同學(xué)不熟悉，實(shí)際上考研要求很明確：會用定義判斷廣義積分的斂散性;會計(jì)算廣義積分。

　　定積分要存在需滿足兩條：積分區(qū)間有限且被積函數(shù)有界。破壞這些條件得到的積分稱為廣義積分。具體說來，無窮區(qū)間的廣義積分有三種：積分上限為無窮，積分下限為無窮，積分上、下限均為無窮;無界函數(shù)的廣義積分(也稱瑕積分，因?yàn)楸环e函數(shù)在積分區(qū)間無界，在區(qū)間內(nèi)部或端點(diǎn)處一定有讓被積函數(shù)無界的點(diǎn)，這種“不好”的點(diǎn)我們稱為瑕點(diǎn))也有三種：瑕點(diǎn)在區(qū)間的左端點(diǎn)，瑕點(diǎn)在區(qū)間的右端點(diǎn)，瑕點(diǎn)在區(qū)間的內(nèi)部。

　　廣義積分收斂發(fā)散的定義的形式看起來較復(fù)雜，可以按照如下方式理解：把廣義積分按照定積分的牛頓-萊布尼茲公式算出來(把正負(fù)無窮帶入看成取極限，瑕點(diǎn)處的函數(shù)值也看成取極限)，如果結(jié)果是個(gè)數(shù)，則廣義積分收斂;如果不存在，則廣義積分發(fā)散。

　　這里要特別注意兩類積分：積分上、下限均為無窮的廣義積分和瑕點(diǎn)在區(qū)間的內(nèi)部的廣義積分。前者在用牛頓-萊布尼茲公式之前，要用0把積分區(qū)間拆成兩個(gè)區(qū)間，進(jìn)而把積分拆成兩個(gè)積分，然后運(yùn)用前面的方法討論這兩個(gè)積分的斂散性，原積分收斂的充要條件是這兩個(gè)積分都收斂;后者要用瑕點(diǎn)把積分區(qū)間拆成兩個(gè)區(qū)間，進(jìn)而把積分拆成兩個(gè)積分，然后運(yùn)用前面的方法討論這兩個(gè)積分的斂散性，原積分收斂的充要條件是這兩個(gè)積分都收斂。

　　廣義積分的計(jì)算就是定積分加取極限。如果是上文提到的那兩種特殊類型的廣義積分，先拆成兩個(gè)積分，再計(jì)算即可。