2012年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)

線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。跨考李老師為大家分析考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)。

一、課程特點(diǎn)

特點(diǎn)一：知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)碎。

如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。

特點(diǎn)二：知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。

這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識(shí)，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。

復(fù)習(xí)線代時(shí)，要做到"融會(huì)貫通"。

"融會(huì)"--設(shè)法找到不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處；

"貫通"--掌握前后知識(shí)點(diǎn)之間的順承關(guān)系。

二、行列式與矩陣

第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。

行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和高階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行列展開(kāi)定理化為上下三角行列式求解。對(duì)于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于相關(guān)性質(zhì)，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、運(yùn)算性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。

三、向量與線性方程組

向量與線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)；后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)核心內(nèi)容的擴(kuò)展。

向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容比較有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。解線性方程組可以看作是出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線性方程組(一般式)

還具有兩種形式：(1)矩陣形式，(2)向量形式。

1．齊次線性方程組與線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系

齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng)變量都為零時(shí)等式一定成立；印證了向量部分的一條性質(zhì)"零向量可由任何向量線性表示"。

齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解；②有非零解。當(dāng)齊次線性此方程組有唯一零解時(shí)，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，存在不全為零的變量使上式成立；但向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)無(wú)關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)�？梢栽O(shè)想線性相關(guān)無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問(wèn)題而提出的。

2．齊次線性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系

同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是"極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)"。經(jīng)過(guò)"秩→線性相關(guān)無(wú)關(guān)→線性方程組解的判定"的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關(guān)時(shí)，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過(guò)r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量(基礎(chǔ)解系)線性表示。

3．非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系

非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數(shù)就是非齊次線性方程組的解。

四、特征值與特征向量

相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量?jī)?nèi)容--既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，"牽一發(fā)而動(dòng)全身"。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：

1．特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法就是記牢一系列公式和性質(zhì)。

2．相似矩陣及其性質(zhì)，需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：

3．矩陣可相似對(duì)角化的條件，包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件1是n階矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征值；充要條件2是任意r重特征根對(duì)應(yīng)有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

4．實(shí)對(duì)稱矩陣及其相似對(duì)角化，n階實(shí)對(duì)稱矩陣必可正交相似于對(duì)角陣。

五、二次型

本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個(gè)延伸，因?yàn)榛�二次型為�?biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為"對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣存在正交矩陣使得可以相似對(duì)角化"，其過(guò)程就是上一章相似對(duì)角化在為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)的應(yīng)用。