福州大學(xué) 2011年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱

　　一、考試科目名稱:《數(shù)學(xué)分析》
　　二、招生學(xué)院和專業(yè)：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院
　　基本內(nèi)容(可續(xù)頁(yè)):
　　1、集合與映射：集合、子集、余集，集合的并、交、差，集合運(yùn)算的交換率、結(jié)合率、分配率，笛卡兒乘積，映射、滿射、單射、雙射、逆映射，像與逆像，映射的復(fù)合，映射的限制與延拓，一元函數(shù)，函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合，函數(shù)的圖象，初等函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性與凸性。
　　2、極限與連續(xù)：數(shù)列極限的ξ-N定義，數(shù)列極限的唯一性，收斂數(shù)列的有界性，極限與四則運(yùn)算，極限與不等式，單調(diào)有界原理，數(shù)e，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量，函數(shù)極限的ξ-N定義，與數(shù)列極限性質(zhì)相平行的函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，單側(cè)極限與無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限，復(fù)合函數(shù)的極限，兩個(gè)重要的極限，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的階，函數(shù)的連續(xù)與間斷，單側(cè)連續(xù)，函數(shù)連續(xù)的局部性質(zhì)，連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。間斷點(diǎn)的分類，初等函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)連續(xù)的整體性質(zhì)。
　　3、導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，參數(shù)方程所表示的函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，單側(cè)導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，Leibniz公式。線性函數(shù)與微分，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分的四則運(yùn)算，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的微分，一階微分形式的不變性，高階微分。
　　4.微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。Taylor公式，Taylor公式的Peano余項(xiàng)及Lagrange余項(xiàng)。某些初等函數(shù)的Taylor展開式。微分學(xué)應(yīng)用：待定型的定值法，函數(shù)的升降，極值，比較值，凸性，拐點(diǎn)的判定，漸近線，函數(shù)的作圖，曲率，曲率半徑，曲率圓。
　　5.不定積分：原函數(shù)與不定積分，基本積分公式，運(yùn)算法則。不定積分的換元法與分部積分法，有理函數(shù)的積分，三角函數(shù)有理式的積分，某些可有理化的函數(shù)的積分。
　　6.黎曼積分：R-積分，達(dá)布上、下和與上、下積分，R-可積的充要條件，R-可積與函數(shù)運(yùn)算，重要的可積函數(shù)類，R-積分的線性性、可加性與正性，第一積分中值定理，變動(dòng)上限積分所定義的函數(shù)的連續(xù)性與可微性。黎曼積分的計(jì)算：N-L公式，換元法與分步積分法，R-積分的近似計(jì)算。定積分的元素法與應(yīng)用：面積、體積、弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)面的面積、重心、壓力、功。
　　7．實(shí)數(shù)理論與連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)：上、下確界，確界原理，單調(diào)有界原理，閉區(qū)間套定理，致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理，實(shí)數(shù)系的公理體系。有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理，比較值定理，介值定理。反函數(shù)連續(xù)性定理，一致連續(xù)性定理。
　　8.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：數(shù)列的上、下極限，部分和極限。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散，級(jí)數(shù)收斂的必要條件，收斂級(jí)數(shù)的線性運(yùn)算與結(jié)合率，柯西收斂原理。單調(diào)有界原理，正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法：比較判別法，柯西根值法，達(dá)郎貝爾比值法，積分判別法，拉伯判別法。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法：萊布尼茲判別法，阿貝爾變換與阿貝爾判別法，狄里克萊判別法。絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù).
　　9.廣義黎曼積分：兩類廣義積分的收斂與發(fā)散，廣義積分與級(jí)數(shù)，積分第二中值定理，比較判別法，柯西判別法，阿貝爾判別法，狄里克萊判別法，積分主值。
　　10.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂，一致收斂的柯西收斂原理，M-判別法，狄里克萊判別法，狄尼定理，一致收斂級(jí)數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性，可微性與可積性，逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積。冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，柯西-阿達(dá)瑪定理，阿貝爾第一、第二定理，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。Weierstrass定理。
　　11.Fourier級(jí)數(shù)與Fourier變換：正交函數(shù)系，三角函數(shù)系的正交性，F(xiàn)ourier系數(shù)，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)。Dirichlet積分，Riemann引理，局部化定理，Dini判別法，Dirichlet--Jordan判別法，函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積，
　　12.多元函數(shù)極限論：歐氏空間中的拓?fù)湫再|(zhì)：范數(shù)，鄰域，開集，閉集，開核，閉包，有界集，緊集，連通集，區(qū)域，聚點(diǎn)，點(diǎn)列的極限，柯西收斂原理，交集定理，致密性定理，有限覆蓋定理，多元函數(shù)的極限與累次極限，函數(shù)的連續(xù)性，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
　　13.多元微分學(xué)：偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，線性函數(shù)與全微分，連續(xù)可微、可偏導(dǎo)之間的關(guān)系，鏈?zhǔn)椒▌t，高階偏導(dǎo)的次序交換定理，隱函數(shù)的偏導(dǎo)計(jì)算，高階全微分，一階微分形式的不變性。方向?qū)��?shù)與梯度的定義與計(jì)算，梯度。Taylor公式。
　　14.向量值函數(shù)：向量值函數(shù)的極限與連續(xù)，向量值函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)��?shù)，線性映射與全微分，坐標(biāo)函數(shù)，鏈?zhǔn)椒▌t，Jacobi陣。
　　15.隱函數(shù)：隱函數(shù)定理，函數(shù)行列式的性質(zhì)，函數(shù)相關(guān)。
　　16.多元微分學(xué)的應(yīng)用：曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，極值與條件極值，Lagrange乘數(shù)法。
　　17.含參變量積分：含參量常義積分所定義的函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性，求導(dǎo)與積分,積分與積分的次序交換。含參變量廣義積分的一直收斂及其判別法，含參量廣義積分所定義的函數(shù)的性質(zhì)，尤拉積分，伽馬函數(shù)與B函數(shù)。
　　18.多重黎曼積分：重積分定義與性質(zhì)，達(dá)布上、下和與上、下積分，可積的充要條件，可積函數(shù)類。重積分的計(jì)算：化重積分為累次積分，重積分的換元法，極坐標(biāo)，柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)。重積分的應(yīng)用：曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，引力。廣義重積分。
　　19.曲線積分與曲面積分：定向曲線，定向曲面，兩類曲線積分與兩類曲面積分的定義，性質(zhì)，計(jì)算及應(yīng)用。
　　20.向量分析初步：Green公式，Gauss公式，Stokes公式，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，場(chǎng)的三度，保守場(chǎng)與管量場(chǎng)。
　　參考書目(須與專業(yè)目錄一致)(包括作者、書目、出版社、出版時(shí)間、版次)：
　　教材：
　　《數(shù)學(xué)分析》復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社
　　教學(xué)參考書：
　　《數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程》中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社
　　《數(shù)學(xué)分析》華東師大數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社。
　　說(shuō)明：1、考試基本內(nèi)容：一般包括基礎(chǔ)理論、實(shí)際知識(shí)、綜合分析和論證等幾個(gè)方面的內(nèi)容。有些課程還應(yīng)有基本運(yùn)算和實(shí)驗(yàn)方法等方面的內(nèi)容。
　　2、難易程度：根據(jù)大學(xué)本科的教學(xué)大綱和本學(xué)科、專業(yè)的基本要求，一般應(yīng)使大學(xué)本科畢業(yè)生中優(yōu)秀學(xué)生在規(guī)定的三個(gè)小時(shí)內(nèi)答完全部考題，略有一些時(shí)間進(jìn)行檢查和思考。
　　3、考試題型：可分填空題、選擇題、計(jì)算題、簡(jiǎn)答題、論述題等。