《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

　　一、本大綱適用于報考蘇州科技學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士研究生入學(xué)考試。主要考核數(shù)學(xué)分析課程的基本概念、基本理論、基本方法。
　　二、考試內(nèi)容與要求
　　(一) 實(shí)數(shù)集與函數(shù)
　　1、實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對值與不等式;
　　2、數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理;
　　3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數(shù)；
　　4、具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。
　　要求：了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史與實(shí)數(shù)的概念，理解絕對值不等式的性質(zhì)，會解絕對值不等式；弄清區(qū)間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數(shù)集的確界；掌握函數(shù)的定義及函數(shù)的表示法，了解函數(shù)的運(yùn)算；理解和掌握一些特殊類型的函數(shù)。
　　(二) 數(shù)列極限
　　1、極限概念；
　　2、收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號性，單調(diào)性；
　　3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準(zhǔn)則，迫斂性法則，柯西準(zhǔn)則。
　　要求：逐步透徹理解和掌握數(shù)列極限的概念；掌握并能運(yùn)用e-N語言處理極限問題；掌握收斂數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界函數(shù)和迫斂性定理)，并能運(yùn)用；了解數(shù)列極限柯西準(zhǔn)則,了解子列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系；了解無窮小數(shù)列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系.
　　(三) 函數(shù)極限
　　1、函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；
　　2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；
　　3、函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則（Heine定理），柯西準(zhǔn)則；
　　4、兩個重要極限；
　　5、無窮小量與無窮大量，階的比較。
　　要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念；掌握并能應(yīng)用e-d, e-X語言處理極限問題；了解函數(shù)的單側(cè)極限，函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和歸結(jié)原則；熟練掌握兩個重要極限來處理極限問題。
　　(四) 函數(shù)連續(xù)
　　1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點(diǎn)連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類；
　　2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運(yùn)算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（比較大比較小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；
　　3、初等函數(shù)的連續(xù)性。
　　要求：理解與掌握一元函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義及其證明，理解與掌握函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理解單側(cè)連續(xù)的概念；能正確敘述和簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。
　�。ㄎ澹� 導(dǎo)數(shù)與微分
　　1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；
　　2、求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算)、求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程的求導(dǎo)法則）；
　　3、微分：微分的定義，微分的運(yùn)算法則，微分的應(yīng)用；
　　4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。
　　要求：理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)的求法；了解導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計算中的應(yīng)用。
　�。�六�� 微分學(xué)基本定理
　　1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；
　　2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；
　　3、泰勒公式。
　　要求：掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開；能熟練地運(yùn)用羅必達(dá)法則求不定式的極限
　　（七） 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
　　1、函數(shù)的單調(diào)性與極值；
　　2、函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn).
　　要求：了解和掌握函數(shù)的某些特性(單調(diào)性、極值與比較值、凹凸性、拐點(diǎn))及其判斷方法，能利用函數(shù)的特性解決相關(guān)的實(shí)際問題。
　　（八） 實(shí)數(shù)完備性定理及應(yīng)用
　　1、實(shí)數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、確界存在定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理；
　　2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，比較大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明；
　　3、上、下極限。
　　要求：了解實(shí)數(shù)連續(xù)性的幾個定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明；理解聚點(diǎn)的概念，上、下極限的概念。
　�。ň牛� 不定積分
　　1、不定積分概念；
　　2、換元積分法與分部積分法；
　　3、幾類可化為有理函數(shù)的積分；
　　要求：理解原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。
　�。ㄊ��� 定積分
　　1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件；
　　2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達(dá)布上和與達(dá)布下和，可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))；
　　3、微積分學(xué)基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；
　　4、非正常積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法（柯西準(zhǔn)則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。
　　要求：理解定積分概念及函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類，會一些較簡單的可積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能較好地運(yùn)用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。
　�。ㄊ�一�� 定積分的應(yīng)用
　　1、定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；
　　2、定積分在物理上的應(yīng)用：功、液體壓力、引力。
　　要求：重點(diǎn)掌握定積分的幾何應(yīng)用；掌握定積分在物理上的應(yīng)用；在理解并掌握"微元法"。
　�。ㄊ�二�� 數(shù)項(xiàng)級數(shù)
　　1、級數(shù)的斂散性：無窮級數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準(zhǔn)則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；
　　2、正項(xiàng)級數(shù)：比較原理，達(dá)朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；
　　3、一般項(xiàng)級數(shù)：交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
　　要求：理解無窮級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)；能夠應(yīng)用正項(xiàng)級數(shù)與任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法判斷級數(shù)的斂散性；熟悉幾何級數(shù)調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)。
　　（十三） 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)
　　1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準(zhǔn)則，優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；
　　2、一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）。
　　要求：掌握收斂域、極限函數(shù)與和函數(shù)一致斂等概念；掌握極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與函數(shù)列的一致收斂。
　�。ㄊ�四�� 冪級數(shù)
　　1、冪級數(shù)：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；
　　2、幾種常見初等函數(shù)的冪級數(shù)展開與泰勒定理。
　　要求：了解冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)及函數(shù)的可展成冪級數(shù)等概念；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)；會求冪級數(shù)的收斂半徑與一些冪級數(shù)的收斂域；會把一些函數(shù)展開成冪級數(shù)，包括會用間接展開法求函數(shù)的泰勒展開式
　�。ㄊ�五�� 付里葉級數(shù)
　　1、付里葉級數(shù)：三角函數(shù)與正交函數(shù)系, 付里葉級數(shù)與傅里葉系數(shù), 以２ 為周期函數(shù)的付里葉級數(shù), 收斂定理；
　　2、以2L為周期的付里葉級數(shù)；
　　3、收斂定理的證明。
　　要求：理解三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級數(shù)的概念；掌握傅里葉級數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)；了解收斂定理的證明。
　　（十六） 多元函數(shù)極限與連續(xù)
　　1、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念；
　　2、二元函數(shù)的極限、累次極限；
　　3、二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。
　　要求：理解平面點(diǎn)集、多元函數(shù)的基本概念；理解二元函數(shù)的極限、累次極限、連續(xù)性概念，會計算一些簡單的二元函數(shù)極限；了解閉區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
　�。ㄊ�七�� 多元函數(shù)的微分學(xué)
　　1、可微性：偏導(dǎo)數(shù)的概念 ，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性；全微分概念；連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性；
　　2、多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式；
　　3、方向?qū)��?shù)與梯度；
　　4、泰勒定理與極值。
　　要求：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)��?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及極值等概念及其計算；弄清全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；了解泰勒公式；會求函數(shù)的極值、比較值。
　�。ㄊ�八�� 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用
　　1、隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例；
　　2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，雅可比行列式；
　　3、幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。
　　要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)的存在定理，會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解隱函數(shù)組的概念及隱函數(shù)組定理，會求隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；了解條件極值概念及求法。
　�。ㄊ�九�� 重積分
　　1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質(zhì)；
　　2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標(biāo)變換，一般變換）；
　　3、含參變量的積分；
　　4、三重積分計算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換）；
　　5、重積分應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動慣量；
　　6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準(zhǔn)則，與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質(zhì)；
　　7、歐拉積分：格馬函數(shù)及其性質(zhì),貝塔函數(shù)及其性質(zhì)。
　　要求：了解含參變量定積分的概念與性質(zhì)；熟練掌握二重、三重積分的概念、性質(zhì)、計算及基本應(yīng)用；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；理解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理，并掌握它們的應(yīng)用；了解歐拉積分。
　�。ǘ�十�� 曲線積分與曲面積分
　　1、第一型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，第一型曲面積分的的概念、性質(zhì)與計算；
　　2、第二型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，變力作功，兩類曲線積分的聯(lián)系；
　　3、格林公式，曲線積分與路線的無關(guān)性, 全函數(shù)；
　　4、曲面的側(cè)，第二型曲面積分概念及性質(zhì)與計算，兩類曲面積分的關(guān)系;
　　5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關(guān)性；
　　6、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度。
　　要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)及計算；了解兩類曲線積分的關(guān)系和兩類曲面積分的關(guān)系；熟練掌握格林公式的證明及其應(yīng)用，會利用高斯公式、斯托克斯公式計算一些曲面積分與曲線積分；了解場論的初步知識。
　　三、主要參考書
　　《數(shù)學(xué)分析》（第三版），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2004年。
　　《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》，裴禮文，高等教育出版社，1993年。
　　四、主要題型：
　　填空題，選擇題，計算題，解答題，證明題，應(yīng)用題。