（一） 2005年北京市高考數(shù)學(xué)新課程卷命題趨勢(shì)預(yù)測(cè)
（1）五年來(lái)（2000年—2004年）其它省市新課程中新增內(nèi)容與高考試題的關(guān)系：為了支持課程改革，促進(jìn)新增加內(nèi)容的教學(xué)，檢查考生對(duì)新內(nèi)容的掌握程度，這些新內(nèi)容在新課程試卷中都有涉及。新課程改革增加的新內(nèi)容的考查形式和要求已經(jīng)發(fā)生了變化，向量、導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由2001、2002年只是在解決問(wèn)題中的輔助地位上升為分析和解決問(wèn)題是不可缺少的工具。在新課程試題中，有些題目屬于新教材與舊教材的結(jié)合部，在高考命題時(shí)采用新舊結(jié)合的辦法。如函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題既可以用定義求解也可以用求導(dǎo)求解。另外，函數(shù)、不等式、平面向量、圓錐曲線(xiàn)、概率、直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體、數(shù)列極限和導(dǎo)數(shù)正在成為高考的新重點(diǎn)。筆者認(rèn)為上述情況將會(huì)對(duì)2005年北京市高考數(shù)學(xué)新課程卷的命制產(chǎn)生一定的影響。
（2）北京市2004年高考數(shù)學(xué)試題與2003年高考數(shù)學(xué)試題的難度相當(dāng)，但壓軸題的難度有所下降，由此可以推測(cè)：北京卷高考命題組在吸取了2002年出題過(guò)難的教訓(xùn)的基礎(chǔ)上將會(huì)把2005年試題的難度系數(shù)維持在2003年試題的水平上以保證高考試題的連續(xù)性和穩(wěn)定性。另外又由于新課程內(nèi)容的考查要求不會(huì)太高，新舊內(nèi)容結(jié)合部的解題方法多種多樣，甚至有的題目考生可以自主選擇（如立體幾何部分）。所以我們有理由相信2005年試題的難度不會(huì)太大。
（3）由于2005年是北京市自主命制新課程卷的第一年，所以步伐不會(huì)過(guò)大。此外，2004年北京市西城區(qū)高二第二學(xué)期期末考試的立體幾何試題也從另一個(gè)側(cè)面反映出今后高考（北京卷）立體幾何部分的出題方式:設(shè)置傳統(tǒng)立體幾何和空間向量?jī)傻涝囶},讓考生自己任選其中一道作答。
（4）進(jìn)一步改進(jìn)對(duì)研究性學(xué)習(xí)課題、實(shí)習(xí)作業(yè)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（如2002年高考數(shù)學(xué)北京卷第16題）的考查方式。
（5）鑒于2004年高考理科綜合（北京卷）考試說(shuō)明在名稱(chēng)上發(fā)生的變化，筆者認(rèn)為：2005高考數(shù)學(xué)（北京卷）考試說(shuō)明的名稱(chēng)將改為2005年高考數(shù)學(xué)（北京卷）考試大綱，當(dāng)然，這將不僅僅是名稱(chēng)上的改變，它更向考生提供了一個(gè)信息：今后的考試將會(huì)嚴(yán)格恪守考試大綱的要求，使考生有章可循，把“以綱為綱”落到實(shí)處，而不會(huì)再像以往那樣出題不著邊際，打著“不拘泥于大綱”的幌子，隨興所至，置考試說(shuō)明于不顧。
（6）2002年北京市高考數(shù)學(xué)的壓軸題取材于2002年廣州市的模擬試題，甚至2002年北京市高考語(yǔ)文的作文的話(huà)題都與2001年山東某市模擬試題的作文的話(huà)題完全一樣，由此可見(jiàn)，北京市自主命題時(shí)并不排斥其它省市命題的先進(jìn)成果。并且2005年北京市高考數(shù)學(xué)又將采取新課程卷，而命題人卻又缺乏經(jīng)驗(yàn)，故不難想到：使用新教材的省市的高考真題及模擬題將成為北京市高考數(shù)學(xué)新課程卷中新增知識(shí)內(nèi)容命制的范本。所以筆者就新增知識(shí)內(nèi)容的考試內(nèi)容和要求，結(jié)合使用新教材的省市的高考真題及模擬題，給出2005年北京市高考數(shù)學(xué)的題型示例：
12.概率與統(tǒng)計(jì)��
考試內(nèi)容
離散型隨機(jī)變量的分布列。離散型隨機(jī)變量的期望值和方差。
抽樣方法�？傮w分布的估計(jì)。正態(tài)分布。線(xiàn)性回歸。
考試要求
（1）了解離散型隨機(jī)變量的意義，會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列。
（2）了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差。
（3）會(huì)用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本。
（4）會(huì)用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布。（5）了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)。
（6）了解線(xiàn)性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用。
題型示例：（1）從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有個(gè)紅球，則隨機(jī)變量的概率分布為
ξ 0 1 2
P
（2）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.
(I) 求所選3人都是男生的概率；
(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.
13.極限
考試內(nèi)容
數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例。
數(shù)列的極限。��
函數(shù)的極限。極限的四則運(yùn)算。函數(shù)的連續(xù)性。
考試要求��
（1）理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。
（2）了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念（由于此知識(shí)點(diǎn)尚屬命題的空白，故預(yù)計(jì)2005年會(huì)加以考查）。
（3）掌握極限的四則運(yùn)算法則。會(huì)求某些數(shù)列與函數(shù)的極限。
（4）了解函數(shù)連續(xù)的意義，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)。
題型示例：（1） ＝
A. 　　　　　　　　B.1　　　　　　　　C. 　　　　　　　　D.
(x≠0)，
（2）設(shè)函數(shù)f(x)= a (x=0). 在x=0處連續(xù)，則實(shí)數(shù)a的值為 .
14.導(dǎo)數(shù)��
考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)的幾何意義。幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。基本導(dǎo)數(shù)公式。
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值。函數(shù)的最大值和最小值。
考試要求
（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率等），掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義。理解導(dǎo)函數(shù)的概念。（2）熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c，xm（m為有理數(shù)），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則。了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。��
（3）了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)）。會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。
題型示例：（1）已知函數(shù) ，其中C是實(shí)數(shù)，
（I）求f(x)的極大值和極小值；
（II）證明方程f(x)=0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)不大于3個(gè).
【解】（I）

函數(shù)f(x)的變化情況如下表所示：
x (－∞，－1) －1 （－1，1） 1 （1，+∞）
+ 0 － 0 +
f(x) c+4 c－4

（II）用反證法，若方程f(x)=0的不同實(shí)根多于3個(gè)，則至少可找到四個(gè)不同的實(shí)數(shù)
根據(jù)微分中值定理應(yīng)有 由① 式及x2>x1，知 =0，這表明 =0在區(qū)間（x1 ，x2）中至少有一個(gè)實(shí)根Q1，同理f(x)=0在區(qū)間(x2,x3), (x3,x4)中分別有實(shí)根Q2，Q3，且Q1〈Q2〈Q3，即 =0至少有三個(gè)不同的實(shí)根.這與（I）的結(jié)果矛盾. ∴f(x)=0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)不多于3個(gè).